[論文レビュー] Speed of convergence of Chernoff approximations for two model examples: heat equation and transport equation

Pavel S. Prudnikov|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

advanced mathematical theories参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、解析的推定と数値実験を用いて、熱方程式および輸送方程式の2つのモデル偏微分方程式に対するChernoff近似の収束速度を分析している。収束速度が初期条件の正則性に依存することを示しており、生成子の定義域外にある初期データでは収束が遅くなる。さまざまなChernoff関数および初期条件について、定量的誤差推定と図的証拠を提供している。

ABSTRACT

Paul Chernoff in 1968 proposed his approach to approximations of one-parameter operator semigroups while trying to give a rigorous mathematical meaning to Feynman's path integral formulation of quantum mechanics. In early 2000's Oleg Smolyanov noticed that Chernoff's theorem may be used to obtain approximations to solutions of initial-value problems for linear partial differential equations (LPDEs) of evolution type with variable coefficients, including parabolic equations, Schrödinger equation, and some other. Chernoff expressions are explicit formulas containing variable coefficients of LPDE and the initial condition, hence they can be used as a numerical method for solving LPDEs. However, the speed of convergence of such approximations at the present time is understudied which makes it risky to employ this class of numerical methods. In the present paper we take two equations with known solutions (heat equation and transport equation) and study both analytically and numerically the speed of decay of the norm of the difference between Chernoff approximations and exact solutions. We also provide graphical illustrations of convergence and its rate. These model examples, being relatively simple, allow to demonstrate general properties of Chernoff approximations. The observations obtained build a base for the future employment of the approach based on Chernoff's theorem to the problem of construction of new numerical methods for solving initial-value problem for parabolic LPDEs with variable coefficients.

研究の動機と目的

• 変数係数を有する線形放物型偏微分方程式に対するChernoff近似の収束速度を研究すること。
• 初期条件の正則性が収束速度に与える影響を評価すること。
• モデル方程式に対する収束速度の解析的推定と数値的検証を提供すること。
• 変数係数放物型偏微分方程式に対するChernoffの定理に基づく新しい数値解法の開発の基盤を構築すること。

提案手法

• 輸送方程式および熱方程式にChernoff近似を適用した場合の正確な解と誤差境界を導出する。
• Chernoffの定理を用いて、初期値問題の解への近似を生成する作用素値関数を構成する。
• $C_0$-半群理論を用いて、発展方程式の解を定義し、収束を分析する。
• MATLABを用いて、異なる初期条件およびChernoff関数を用いた数値実験を実施する。
• 対数対数プロットと非線形回帰を用いて収束の次数を推定する。
• 初期条件 $u_0(x) = \sin(x)$ および $u_0(x) = \exp(-|x|)$ を含む、さまざまな初期条件における収束速度を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを有する熱方程式に対して、Chernoff近似の収束速度は何か？
• RQ2 輸送方程式において、Chernoff関数の選択が収束速度に与える影響は何か？
• RQ3 初期条件が生成子の定義域に含まれない場合、収束速度は劣化するか？
• RQ4 数値実験は、異なる初期条件に対する理論的収束速度推定を確認できるか？
• RQ5 観察された収束速度に基づいて、与えられた初期条件が属する近似部分空間の次数は何か？

主な発見

• 輸送方程式では、Chernoff近似の収束速度は $O(1/n)$ であり、初期条件の正則性に依存しない。
• 初期条件 $u_0(x) = \sin(x)$ を有する熱方程式では、収束速度は $O(1/n)$ であり、理論的推定と整合的である。
• 生成子の定義域に属さない $u_0(x) = \exp(-|x|)$ の場合でも、収束速度は $O(1/n)$ のまま維持され、正則性が低い初期データに対しても近似部分空間の次数が保たれることを示している。
• 数値実験により、$γ = 1/2$, $1/3$, $1/6$ を有するChernoff関数を含む、さまざまなChernoff関数においても収束速度が一貫して $O(1/n)$ の挙動を示しており、収束速度の安定性が確認された。
• 対数対数プロットを用いた図的分析により、$O(1/n)$ の収束速度が確認され、回帰を用いた収束次数の推定が可能となった。
• 非滑らかな初期条件に対しても、収束挙動が理論的予想と一致しており、Chernoff近似を実用的な数値スキームに応用する根拠が示された。