[論文レビュー] Speed-of-light limitations in passive linear media

Aaron Welters, Yehuda Avniel+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|May 1, 2014

Photonic Crystals and Applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、物質の複雑さに関係なく、被動的かつ線形な媒質において、電磁エネルギー速度の光速制限 $||\mathbf{v}_e|| \leq c$ が普遍的に成り立つことを、因果性、エネルギー密度の正値性、およびサブリューミナル群速度を、被動性と線形性のみを用いて証明することによって確立する。非局所的、キラルな、周期的、分散的な系でさえ、透過窓を有する・ないにかかわらず、成り立つ。

ABSTRACT

We prove that well-known speed of light restrictions on electromagnetic energy velocity can be extended to a new level of generality, encompassing even nonlocal chiral media in periodic geometries, while at the same time weakening the underlying assumptions to only passivity and linearity of the medium (either with a transparency window or with dissipation). As was also shown by other authors under more limiting assumptions, passivity alone is sufficient to guarantee causality and positivity of the energy density (with no thermodynamic assumptions). Our proof is general enough to include a very broad range of material properties, including anisotropy, bianisotropy (chirality), nonlocality, dispersion, periodicity, and even delta functions or similar generalized functions. We also show that the "dynamical energy density" used by some previous authors in dissipative media reduces to the standard Brillouin formula for dispersive energy density in a transparency window. The results in this paper are proved by exploiting deep results from linear-response theory, harmonic analysis, and functional analysis that had previously not been brought together in the context of electrodynamics.

研究の動機と目的

• 被動的かつ線形な媒質、特に非局所的、キラルな、異方的、周期的系を含めたすべての媒質へ、電磁エネルギー速度の光速制限を一般化すること。
• 熱力学的仮定を一切用いずに、被動性のみが因果性およびエネルギー密度の正値性を保証することを示すこと。
• 測度論的定式化を用いて、分散的・損失を伴う媒質へも適用可能な形で、透過窓の概念を統一的かつ一般化すること。
• 損失を伴う媒質における動的エネルギー密度が、透過窓の極限において標準的なブリルアインエネルギー密度に簡約されることを示すこと。
• $||\mathbf{v}_e|| = c$ が成立する条件を特定し、そのような解がどれほど特異的であるかを証明すること。

提案手法

• 線形応答理論、調和解析、関数解析の深い結果、特にヘルグロッツ関数および正の作用素値測度の理論を用いる。
• ヒルベルト空間上の単位セルにおける電磁場の任意の分布への線形感受率の拡張により、非局所的および一般化関数の取り扱いを可能にする。
• 自己随伴作用素のスペクトル定理と、被動的応答関数の正の作用素測度による表現を適用する。
• 一般化されたヘルグロッツ表現定理を用いて、周波数領域における正の作用素値測度による被動的線形媒質の特徴付けを行う。
• 標準的な電磁分散関係を用いて、透過窓内ではエネルギー速度 $\mathbf{v}_e$ が群速度 $\mathbf{v}_g$ に等しくなることを導出する。
• 作用素値積分および解析接続技術を用いて、$\mathbf{v}_e$ の有界性およびそのノルムが $c$ で抑えられることを厳密に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被動的かつ線形な分散的媒質、特に非局所的・キラル系を含めたすべての媒質において、光速制限 $||\mathbf{v}_e|| \leq c$ を証明できるか？
• RQ2 被動性のみが、熱力学的仮定を要せず、因果性およびエネルギー密度の正値性を保証するか？
• RQ3 透過窓の概念を、従来のモデルを超えて、測度論的定式化を用いてどのように一般化できるか？
• RQ4 損失を伴う媒質で用いられる動的エネルギー密度と、透過窓極限における標準的ブリルアインエネルギー密度との関係は何か？
• RQ5 $||\mathbf{v}_e|| = c$ が成立する条件は何か？また、そのような解はどれほどまれであるか？

主な発見

• 被動性のみが、熱力学的仮定を要せず、線形電磁媒質における因果性およびエネルギー密度の正値性を保証する。
• 透過窓内ではエネルギー速度 $\mathbf{v}_e$ が群速度 $\mathbf{v}_g$ に等しくなることが確認され、標準的な物理的解釈が裏付けられる。
• 光速制限 $||\mathbf{v}_e|| \leq c$ は、異方的・双屈折的（キラル）・非局所的・周期的系を含む、すべての被動的線形媒質において普遍的に成り立つ。
• 損失を伴う媒質に関する先行研究で用いられた動的エネルギー密度は、透過窓極限において正確に標準的ブリルアインエネルギー密度に還元される。
• $||\mathbf{v}_e|| = c$ が成立するのは、極めて限定された材料および場の解のクラスに限られ、サブリューミナル伝播が一般的な状況であることが示される。
• 証明は、スペクトル定理および作用素値測度のヘルグロッツ表現といった高度な関数解析を用いて、厳密に境界を確立する。