[論文レビュー] Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、指数的成長を示す有限生成群における速度、エントロピー、等周性、帰還確率、$L_p$-圧縮の逆問題を、ランプライト群の新しい対角積構成を用いて解き、$p \in [1,2]$ における $Δ \wr \mathbb{Z}$ の $L_p$-圧縮指数の公式を確立し、アミールの速度-エントロピー指数の共同評価に関する予想を証明するとともに、幾何学的および確率的不変量を制御する新しいクラスの群を用いて、非可換な可解群が非可換に無限個存在することの新たな証明を提供する。

ABSTRACT

We give a solution to the inverse problem (given a function, find a corresponding group) for large classes of speed, entropy, isoperimetric profile, return probability and $L_p$-compression functions of finitely generated groups of exponential volume growth. For smaller classes, we give solutions among solvable groups. As corollaries, we prove a recent conjecture of Amir on joint evaluation of speed and entropy exponents and we obtain a new proof of the existence of uncountably many pairwise non-quasi-isometric solvable groups, originally due to Cornulier and Tessera. We also obtain a formula relating the $L_p$-compression exponent of a group and its wreath product with the cyclic group for $p$ in $[1,2]$.

研究の動機と目的

• 与えられた関数に対して、その漸近的に一致する幾何学的および確率的不変量（速度、エントロピー、等周性、帰還確率、$L_p$-圧縮）を持つ有限生成群を構成するという逆問題を解くこと。
• 体積成長とエントロピーに既知の逆結果を、指数的体積成長を示す群において速度、等周的プロファイル、$L_p$-圧縮を含む分野へ拡張すること。
• 根付き木に基づく標準的な置換ワイヤード積の枠組みを越えた、新しい構成法—ランプライト群の対角積—を提供すること。
• 可解群における速度とエントロピー指数の共同評価に関するアミールの予想を証明すること。
• コルヌリエとテッセラが元々示した、非可換に無限個のペアワイズ非準同型な可解群が存在することの新たな証明を提供すること。

提案手法

• 有限ラムプライト群 $\mathbb{Z}_2 \wr D_{2n_s}^d$ の系列を用いて、$\mathbb{Z}_2 \wr D_\infty^d$ の有限商の系列に基づく対角積として群を構成する。
• ベースグラフ $D_{2n_s}^d$ 上のランダムウォークのダイナミクスを用いて、訪問されたサイト数とランプの配置を制御することで、ランプライト群の速度とエントロピーを制御する。
• ナッシュ不等式と対角上での熱核の崩壊推定を用いて、ベースのランダムウォークにおける帰還確率とランプ訪問時間の境界を求める。
• ベースのランダムウォークが訪問する異なるサイトの数とランプライト群における語長との関係を、ある $\sigma_d > 0$ に対して $|X_{2t}| \geq \sigma_d t$ という恒等式を用いて確立する。
• 可解群において等変および非等変 $L_p$-圧縮が同値であることを用いて、$\Delta \wr \mathbb{Z}$ の $L_p$-圧縮指数の公式を導出する。
• 乗法的定数の意味で関数の同値性（$f \simeq g$）を定義することで、準同型写像に依存しない漸近的不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非線形関数は、指数的体積成長を示す有限生成群の速度指数として実現可能か？
• RQ2 アミールの予想が正しければ、可解群において速度とエントロピー指数の共同挙動は同時に実現可能か？
• RQ3 $p \in [1,2]$ に対して、$\Delta \wr \mathbb{Z}$ の $L_p$-圧縮指数は $\Delta$ の圧縮の関数としてどのように表されるか？
• RQ4 指数的成長を示す群において、等周的プロファイルおよび帰還確率の逆問題は解けるか？
• RQ5 非可換に無限個のペアワイズ非準同型な可解群が存在するか？そして、これは新しい幾何的不変量を用いて証明可能か？

主な発見

• 任意の正則関数 $f(n)$ が $n^{0.77}$ から $n$ の間にある場合、体積成長が $e^{f(n)}$ に乗法的定数の意味で一致する群を構成し、可解な設定における体積成長の逆問題を解いた。
• $\sqrt{n}$ から $n^\gamma$（$\gamma < 1$）の間の任意の関数に対して、そのエントロピー成長に一致する（乗法的定数の意味で）群と、その関数を持つ有限台を持つ測度が存在することを確認し、アミールとヴェラグの結果を裏付けた。
• $n^{3/4}$ から $n^\gamma$（$\gamma < 1$）の間の任意の関数に対して、その速度成長に一致する（乗法的定数の意味で）群と測度が存在することを示し、速度の逆問題を解いた。
• $p \in [1,2]$ に対して、$\Delta \wr \mathbb{Z}$ の $L_p$-圧縮指数は $\kappa_p(\Delta \wr \mathbb{Z}) = \frac{\kappa_p(\Delta)}{2}$ で与えられ、ここで $\kappa_p$ は $L_p$-圧縮指数を表す。
• アミールの予想を、両指数が同時に独立に実現される群の構成により証明した。
• この構成により、非可換に無限個のペアワイズ非準同型な可解群が得られ、コルヌリエとテッセラの結果の新たな証明が得られた。