[論文レビュー] Sphere eversions and realization of mappings

Sergey A. Melikhov|ArXiv.org|May 12, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、幾何的位相幾何学における長年の問題を解決し、$ n > 1 $ に対して、$ n $-球面の逆極限が $ \mathbb{R}^{2n} $ に埋め込まれることを証明している。制御された安定ホーフィング不変量を用いて、多様体間の写像が埋め込みによって $ C^0 $-近似可能かどうかを特徴づけている。$ n > 2 $ に対して、$ S^n $ の自己写像はすべて $ \mathbb{R}^{2n} $ で実現可能であるが、ピカード・ホモロジー3次元球面の特定の自己写像はそうでない。また、非自明な安定ホーフィング不変量を持つ $ S^3 $ の明示的な浸漬が $ \mathbb{R}^4 $ に構成されている。

ABSTRACT

P. M. Akhmetiev used a controlled version of the stable Hopf invariant to show that any (continuous) map N -> M between stably parallelizable compact n-manifolds, n e 1,2,3,7, is realizable in R^{2n}, i.e. the composition of f with an embedding M\subset R^{2n} is C^0-approximable by embeddings. It has been long believed that any degree 2 map S^3 -> S^3, obtained by capping off at infinity a time-symmetric (e.g. Shapiro's) sphere eversion S^2 x I -> R^3, was non-realizable in R^6. We show that there exists a self-map of the Poincaré homology 3-sphere, non-realizable in R^6, but every self-map of S^n is realizable in R^{2n} for each n>2. The latter together with a ten-line proof for n=2, due essentially to M. Yamamoto, implies that every inverse limit of n-spheres embeds in R^{2n} for n>1, which settles R. Daverman's 1990 problem. If M is a closed orientable 3-manifold, we show that there exists a map S^3 -> M, non-realizable in R^6, if and only if π_1(M) is finite and has even order. As a byproduct, an element of the stable stem Π_3 with non-trivial stable Hopf invariant is represented by a particularly simple immersion S^3 -> R^4, namely the composition of the universal 8-covering over Q^3=S^3/{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k}$ and an explicit embedding Q^3\subset R^4.

研究の動機と目的

• R. Davermanの1990年の問題、すなわち $ n $-球面の逆極限が $ \mathbb{R}^{2n} $ に埋め込まれるか否かを解明すること。
• 安定平行化可能多様体間の連続写像が $ \mathbb{R}^{2n} $ において $ C^0 $-近似可能かどうかを特徴づけること。
• $ S^3 $ およびピカード・ホモロジー3次元球面の自己写像が $ \mathbb{R}^6 $ で実現可能かどうかを特定すること。
• $ S^3 \looparrowright \mathbb{R}^4 $ で非自明な安定ホーフィング不変量を持つ明示的な浸漬を構成すること。

提案手法

• 写像の $ C^0 $-近似可能かどうかの一次障害として、制御された安定ホーフィング不変量 $ h(f) = (w_1(\eta))^k [\Sigma_f / \tau] \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ を用いる。
• AkhmetievおよびSzücsの浸漬理論的アプローチを応用し、$ h(f) $ を安定ホモトピー論における古典的安定ホーフィング不変量と関連付ける。
• Koschorkeの図8構成と摂動技法を用いて、二重点多様体およびそのスティーフェル・ホイットニー類を分析する。
• 制御された条件下で、$ h(f) = 0 $ であることがかつて $ f $ が $ C^0 $-近似可能であることと同値であることを用いる。
• Adamsの定理（$ n \neq 1,3,7 $ のとき安定ホーフィング不変量が消える）を適用し、$ h(f) \neq 0 $ となる明示的例を構成する。
• 二重点集合の $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-ホモロジー類と関連する線分束の第一スティーフェル・ホイットニー類の双対性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n $-多様体において、すべての自己写像が $ C^0 $-近似による埋め込みで $ \mathbb{R}^{2n} $ に実現可能となるのはどのような場合か？
• RQ2 ピカード・ホモロジー3次元球面の自己写像が $ \mathbb{R}^6 $ で非実現可能となるのはいつか？
• RQ3 安定ホーフィング不変量は、$ \mathbb{R}^{2n} $ における多様体間写像の非実現性を検出できるか？
• RQ4 すべての $ n $-球面の逆極限は $ n > 1 $ に対して $ \mathbb{R}^{2n} $ に埋め込まれるか？
• RQ5 非自明な安定ホーフィング不変量を持つ写像は、$ \mathbb{R}^{2n} $ において単純な浸漬として実現可能か？

主な発見

• $ n > 1 $ に対して、$ n $-球面のすべての逆極限は $ \mathbb{R}^{2n} $ に埋め込まれる。これはR. Davermanの1990年の問題を解決する。
• $ n > 2 $ に対して、$ S^n $ のすべての自己写像は $ \mathbb{R}^{2n} $ で実現可能である。以前は、キャップを外した球面反転の次数2写像が実現不可能であると考えられていたが、それは誤りであった。
• ピカード・ホモロジー3次元球面の自己写像で $ \mathbb{R}^6 $ に非実現可能なものが存在する。このような写像が存在するのは、$ \pi_1(M) $ が有限かつ偶数位数である場合に限る。
• 非自明な安定ホーフィング不変量を持つ $ \Pi_3 $ の元は、$ S^3 \to Q^3 $ の普遍的8重被覆と、明示的な埋め込み $ Q^3 \hookrightarrow \mathbb{R}^4 $ の合成によって表される。
• 安定ホーフィング不変量 $ h(f) $ が0であることは、自己転置写像である $ f $ と、埋め込み $ M \hookrightarrow M \times \mathbb{R}^k $ の合成が $ C^0 $-近似可能であることと同値である。
• $ n \neq 1,3,7 $ のとき、安定平行化可能 $ n $-多様体間のすべての自己転置写像に対して、制御された安定ホーフィング不変量は0である。これは、$ \mathbb{R}^{2n} $ における実現可能性を示唆する。