[論文レビュー] Spherical functions on affine Lie groups

Pavel Etingof, Igor Frenkel+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、表現間の交差作用素の重み付きトレースを用いて、コンパクトおよびアフィンリー群上のベクトル値の共役同変関数を構成する。ラプラシアン作用素の径数部分を導出し、完全可積分な量子系を生じる。アフィンの場合、これらはWess-Zumino-Wittenの conformal block と関連し、臨界レベルにおける楕円型Calogero-Sutherland-Moserハミルトニアンと結びついており、量子積分はSugawara作用素から生じる。

ABSTRACT

We describe vector valued conjugacy equivariant functions on a group K in two cases -- K is a compact simple Lie group, and K is an affine Lie group. We construct such functions as weighted traces of certain intertwining operators between representations of K. For a compact group $K$, Peter-Weyl theorem implies that all equivariant functions can be written as linear combinations of such traces. Next, we compute the radial parts of the Laplace operators of $K$ acting on conjugacy equivariant functions and obtain a comple- tely integrable quantum system with matrix coefficients, which in a special case coincides with the trigonometric Calogero-Sutherland-Moser multi-particle system. In the affine Lie group case, we prove that the space of equivariant functions having a fixed homogeneity degree with respect to the action of the center of the group is finite-dimensional and spanned by weighted traces of intertwining operators. This space coincides with the space of Wess-Zumino-Witten conformal blocks on an elliptic curve. We compute the radial part of the second order Laplace operator on the affine Lie group acting on equivariant functions, and find that it is a certain parabolic partial differential operator, which degenerates to the elliptic Calogero-Sutherland-Moser hamiltonian as the central charge tends to minus the dual Coxeter number (the critical level). Quantum integrals of this hamiltonian are obtained as radial part of the higher Sugawara operators which are central at the critical level.

研究の動機と目的

• コンパクトおよびアフィンリー群上の共役同変関数を、表現論的技法を用いて構成すること。
• 中心の作用における固定された同次次数を持つ同変関数の空間を、有限次元的であり、重み付きトレースによって張られるように特徴付けること。
• アフィンリー群上での2次ラプラシアン作用素の径数部分を計算し、可積分系との関連を特定すること。
• これらの同変関数と、楕円曲面上のWess-Zumino-Witten conformal block 間の対応関係を確立すること。
• 径数ラプラシアンが臨界レベルで退化し、楕円型Calogero-Sutherland-Moserハミルトニアンに一致する極限を解析すること。

提案手法

• 群Kの表現間の交差作用素の重み付きトレースとして同変関数を構成する。
• Peter-Weyl定理を適用し、コンパクトK上のすべての同変関数が、このようなトレースの線形結合として得られることを示す。
• K上でのラプラシアン作用素の径数部分を計算し、行列係数を伴う完全可積分な量子系が得られることを示す。
• アフィンリー群の場合、固定された中心電荷次数を持つ同変関数の空間が、重み付きトレースによって張られる有限次元空間であることを証明する。
• アフィンK上での2次ラプラシアン作用素の径数部分を、放物型偏微分作用素として導出する。
• ハミルトニアンの量子積分が、高次のSugawara作用素の径数部分として特定され、臨界レベルで中心的であることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトおよびアフィンリー群上の共役同変関数を、表現論を用いて体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 アフィンリー群の設定において、同変関数に作用するラプラシアン作用素の径数部分は何か？
• RQ3 アフィンリー群上の径数ラプラシアンは、Calogero-Sutherland-Moserモデルなどの既知の可積分系とどのように関係するか？
• RQ4 中心電荷は、アフィンリー群上の同変関数の構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 Sugawara作用素は、この文脈における臨界レベルでの量子可積分性にどのように寄与するか？

主な発見

• 中心の作用における固定された同次次数を持つアフィンリー群上の共役同変関数の空間は、有限次元的であり、交差作用素の重み付きトレースによって張られる。
• これらの同変関数は、楕円曲面上のWess-Zumino-Witten conformal block の空間と一致する。
• アフィンリー群上での2次ラプラシアン作用素の径数部分は、放物型偏微分作用素である。
• 臨界レベル（中心電荷 = -h∨、ここでh∨は双対コクセター数）において、径数ラプラシアンは楕円型Calogero-Sutherland-Moserハミルトニアンに退化する。
• このハミルトニアンの量子積分は、高次のSugawara作用素の径数部分として生じ、臨界レベルで中心的である。
• この構成により、行列係数を伴う完全可積分な量子系が得られ、コンパクトな場合の三角関数型Calogero-Sutherland-Moser系の一般化が実現される。