[論文レビュー] Spherical Functions: The Spheres Vs. The Projective Spaces

Juan Tirao, Ignacio Zurrián|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n次元球面 $S^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ における非可約球面関数と、実射影空間 $\mathbb{R}P^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ におけるそれらの間の明確な対応関係を確立する。奇数 $n$ の場合、$S^n$ 上の関数の対を用いた明示的な行列構成によって、$\mathbb{R}P^n$ 上の球面関数が関連づけられる。偶数 $n$ の場合、球面関数は直接的に一致する。主な結果は、一方の空間におけるすべての球面関数を特定することは、他方の空間におけるそれらを特定することと同値であるということである。

ABSTRACT

In this paper we establish a close relationship between the spherical functions of the $n$-dimensional sphere $S^n\simeq\SO(n+1)/\SO(n)$ and the spherical functions of the $n$-dimensional real projective space $P^n(\mathbb{R})\simeq\SO(n+1)/\mathrm{O}(n)$. In fact, for $n$ odd a function on $\SO(n+1)$ is an irreducible spherical function of some type $π\in\hat\SO(n)$ if and only if it is an irreducible spherical function of some type $γ\in\hat {\mathrm{O}}(n)$. When $n$ is even this is also true for certain types, and in the other cases we exhibit a clear correspondence between the irreducible spherical functions of both pairs $(\SO(n+1),\SO(n))$ and $(\SO(n+1),\mathrm{O}(n))$. Summarizing, to find all spherical functions of one pair is equivalent to do so for the other pair.

研究の動機と目的

• n次元球面 $S^n = \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ と実射影空間 $\mathbb{R}P^n = \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ 上の球面関数の関係を明確化すること。
• $S^n$ 上の型 $\pi \in \hat{\mathrm{SO}}(n)$ の球面関数が、$\mathbb{R}P^n$ 上の型 $\gamma \in \hat{\mathrm{O}}(n)$ のそれらと一致する条件を特定すること。
• 奇数 $n$ および一般の状況において、$(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{O}(n))$ の非可約球面関数と、$(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{SO}(n))$ の球面関数の対との間の明示的対応を構成すること。
• ある対称空間上での球面関数を解くことは、他方の空間上でのそれらを解くことと同値であることを示すこと。これには表現論と指標論を活用する。

提案手法

• コンパクト部分群上のハール測度と指標 $\chi_\delta$ を含む積分方程式に基づく行列値球面関数の理論を用いる。
• $\mathrm{SO}(n)$ と $\mathrm{O}(n)$ の非可約表現の分類を適用し、特に反射 $a$ による共役によって $\mathrm{SO}(n)$ の表現が $\mathrm{O}(n)$ に拡張される方法に注目する。
• $\mathrm{SO}(n+1)$ 上に新しい球面関数 $\Phi^{\tau,\gamma}$ を、$\Phi^{\tau,\pi}$ と $\Phi^{\tau,\pi_\phi}$ の $2 \times 2$ ブロック行列として構成する。ここで $\pi_\phi$ は $a$ による共役表現である。
• $\mathrm{SO}(n)$-加群としての同型 $\tau(a)V_\pi \simeq V_{\pi_\phi}$ を用いて、$V_\pi \oplus \tau(a)V_\pi$ 上の誘導表現 $\gamma$ が非可約であり、$\mathrm{O}(n)$-型 $\gamma$ と同値であることを示す。
• $\cos(2\theta(g)) = \cos(\theta'(g))$ の恒等式を用いて、$S^n$ と $\mathbb{R}P^n$ 上のゾーン球面関数を関連づけ、$\varphi_{2j} = \phi_j$ が $\mathrm{SO}(n+1)$ 上の関数として成り立つことを示す。
• ジャコビ多項式の既知の恒等式、特に $P_{2k}^{(\alpha,\alpha)}(x) = c_k P_k^{(\alpha,-1/2)}(2x^2 - 1)$ を用いて、両空間上の球面関数の直交多項式表現を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{SO}(n))$ の非可約球面関数は、$(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{O}(n))$ のそれらとどのように関係しているか？
• RQ2 $S^n$ 上の球面関数が $\mathbb{R}P^n$ 上のそれらと一致する条件は何か？
• RQ3 球面関数の $\mathrm{O}(n)$-型と $\mathrm{SO}(n)$-型の対との間の明示的行列構成は何か？
• RQ4 $S^n$ と $\mathbb{R}P^n$ 上のゾーン球面関数は、それらの直交多項式表現を通してどのように関係しているか？
• RQ5 $\mathbb{R}P^n$ 上の球面関数の全セットは、体系的な表現論的手法によって $S^n$ 上のそれらから再構成可能か？

主な発見

• 偶数 $n$ の場合、$\mathrm{SO}(n+1}$ 上の関数が型 $\pi \in \hat{\mathrm{SO}}(n)$ の非可約球面関数であるための必要十分条件は、ある型 $\gamma \in \hat{\mathrm{O}}(n)$ の非可約球面関数であることである。
• 奇数 $n$ の場合、$\mathrm{O}(n)$-型 $\gamma$ の球面関数は、反射 $a \in \mathrm{O}(n) \setminus \mathrm{SO}(n)$ による共役で得られる $\pi$ と $\pi_\phi$ の球面関数を組み合わせた $2 \times 2$ ブロック行列として構成される。
• $\Phi^{\tau,\gamma}(g)$ は行列 $\begin{pmatrix} \Phi^{\tau,\pi}(g) & \Phi^{\tau,\pi}(ga) \\ \Phi^{\tau,\pi_\phi}(ga) & \Phi^{\tau,\pi_\phi}(g) \end{pmatrix}$ として明示的に与えられ、球面関数の定義関数方程式を満たす。
• $S^n$ と $\mathbb{R}P^n$ 上のゾーン球面関数は $\varphi_{2j}^{*}(\theta) = \phi_j^{*}(\theta')$ によって関連づけられ、ここで $\theta \in [0, \pi/2]$ に対して $\theta' = 2\theta$ であり、$\cos(2\theta) = \cos(\theta')$ が成り立つ。
• 恒等式 $P_{2k}^{(\alpha,\alpha)}(\cos\theta) = c_k P_k^{(\alpha,-1/2)}(\cos(2\theta))$ を用いることで、$\varphi_{2j} = \phi_j$ が $\mathrm{SO}(n+1)$ 上の関数として成り立つことが示され、$\mathbb{R}P^n$ 上のすべてのゾーン球面関数が、偶数添え字を持つ $S^n$ 上のゾーン関数として現れることを示す。
• この結果は、$S^n$ 上のすべての球面関数を特定することは、$\mathbb{R}P^n$ 上のそれらを特定することと同値であることを示しており、対応関係は双方向かつ明示的に構成可能である。