[論文レビュー] Spherical Hall algebras of a weighted projective curve

Jyun-Ao Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の genus $g$ の滑らかな射影的曲線上のパラボリックベクトル束に対して、球的ホール代数 $Σ^{>}\!$ のシャッフルに類似た表示を確立し、すべてのハーディング＝ナラシンハン層が特徴関数を含むことを証明する。さらに、ランク1部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ が型 $A$ の量子アフィン代数のテンソル積の自然な加群構造を備えており、アフィン極大重み加群の積と同型であることを示し、パラボリック束に対するカック多項式の存在に関するシフマンの予想を証明する。

ABSTRACT

In this article, we deal with the structure of the spherical Hall algebra of coherent sheaves with parabolic structures on a smooth projective curve of arbitrary genus. We provide a shuffle-like presentation of the vector bundle part and show the existence of the generic form. We also prove that the spherical Hall algebra contains the characteristic functions on all the Harder-Narasimhan strata. These results together imply Schiffmann's theorem on the existence of Kac polynomials for quasi-parabolic vector bundles of fixed rank and multi-degree over the curve. On the other hand, the shuffle structure we obtained is new and we make links to the representations of quantum affine algebras of type A.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線 $X$ の任意の genus $g$ に対して、パラボリックな一貫的層の球的ホール代数 $\mathbf{U}$ の代数的構造を理解すること。
• シフマンがヒッグス束のモジュライ空間のポincare多項式を計算する手法を、パラボリックの場合に拡張すること。
• 非パラボリックの場合を一般化して、束部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ に対するシャッフルに類似した表示を確立すること。
• 球的ホール代数 $\mathbf{U}$ がすべてのハーディング＝ナラシンハン層の特徴関数を含むことを証明すること。これはカック多項式の存在への重要な一歩である。
• 代数 $\mathbf{U}^{>}[1]$ の構造を、量子アフィン代数 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_i})$ のテンソル積との加群同型を介して、極大重み加群に結びつけること。

提案手法

• 滑らかな射影的曲線 $X$ の genus $g$ に対して、(準)パラボリック一貫的層の概念を導入し、そのカテゴリを遺伝的アーベルカテゴリとする。
• パラボリック捩れ層およびパラボリックラインバンドルの特徴関数によって生成される部分代数として、球的ホール代数 $\mathbf{U}$ を定義する。
• 有理関数 $h(z)\in \mathbb{C}(z)$ と、$\mathbb{C}[z^{\pm 1}]\otimes \bigotimes_{p\in S} V_p$ 上の作用をもつ演算子 $\Gamma_h(z/z')$ を用いて、$\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ 上にシャッフルに類似た代数的構造を構成する。
• $\mathbf{U}^{>}[1]$ が $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_1})\otimes \cdots \otimes \mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_N})$ の加群として自然に構造を持ち、$V(\varpi_{1,1})\otimes \cdots \otimes V(\varpi_{N,1})$ である、アフィン極大重み加群の積と同型であることを証明する。
• 生成子間の交換関係を確認するため、演算子 $I_{p,j}(i)$ を用いた帰納法と再帰的関係を用い、加群構造およびシャッフル代数の表示を証明する。
• 反復コマルチプライケーションおよび定数項写像を適用し、すべてのハーディング＝ナラシンハン層の特徴関数が $\mathbf{U}$ に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的曲線の genus $g$ に対して、パラボリック一貫的層の球的ホール代数 $\mathbf{U}$ は、すべてのハーディング＝ナラシンハン層の特徴関数を含むか？
• RQ2 $\mathbf{U}$ の束部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ は、シャッフルに類似た代数的構造を備えているか？
• RQ3 ランク1部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ は、量子アフィン代数 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_i})$ のテンソル積の自然な加群構造を備えているか？
• RQ4 $\mathbf{U}^{>}[1]$ は、アフィン極大重み加群 $V(\varpi_{i,1})$ の積と同型か？
• RQ5 このような構造の存在は、固定ランクおよび多重次数のパラボリックベクトル束に対するカック多項式の存在を示唆するか？

主な発見

• 球的ホール代数 $\mathbf{U}$ は、すべてのハーディング＝ナラシンハン層の特徴関数を含み、重要な構造的性質を満たす。
• 束部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ は、$V\widehat{\otimes}V$ 上に作用する演算子 $\Gamma_h(z/z')$ を用いたシャッフルに類似た表示を備えており、非パラボリックの場合を一般化する。
• ランク1部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ は、$\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_1})\otimes \cdots \otimes \mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_N})$ の自然な加群構造を備えており、帰納法による明示的な交換関係の確認がなされた。
• $\mathbf{U}^{>}[1]$ の加群は、アフィン極大重み加群 $V(\varpi_{1,1})\otimes \cdots \otimes V(\varpi_{N,1})$ と同型であり、これらは既約で、クリスタル基底を備える。
• $\mathbf{U}$ の代数的構造は、固定ランクおよび多重次数のパラボリックベクトル束に対して、シフマンのカック多項式の存在に関する定理を示し、彼の初期の結果をパラボリック設定に拡張する。
• $\mathbf{U}^{>}[1]$ 上のヘッケ作用は、たるれいのイワホリ＝ヘッケ代数と同型でないため、パラボリック構造に対して新しいシュール＝ワイエルストラス双対性が存在する可能性を示唆する。