[論文レビュー] Spherical harmonics for the compactification of IIB supergravity on S_5

P. van Nieuwenhuizen|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、S⁵に compactified された IIB スーパーグラビティの球面調和関数について、ℝⁿ⁺¹ への埋め込みを用いて、文献に散見される多様な手法を統一的に導出する。テンソルおよびスピンル調和関数のカシミール作用素の固有値を体系的に導出し、スピン-1/2 調和関数における局所ローレンツ回転の役割を明確にし、電磁気学におけるベクトル球面調和関数との関係を確立することで、球面上のカーラッツ＝カインン還元におけるスペクトル計算の教育的フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We give a detailed derivation of the spherical harmonics which correspond to the spectrum in the tables of the 1985 paper by Kim, Romans and the author on the Kaluza-Klein dimensional reduction of IIB supergravity on $S_5$ to 5-dimensional maximal anti de Sitter supergravity. We show how all methods that have been used in the literature to obtain spectra if the internal space is $S_n$ can be derived from embedding $S_n$ in $R^{n+1}$. A crucial observation for spin 1/2 spherical harmonics is that one also needs a local Lorentz rotation if one transforms to polar or stereographic coordinates. The relation to the vector spherical harmonics of electromagnetism is also worked out.

研究の動機と目的

• S⁵ 上の IIB スーパーグラビティのカーラッツ＝カインン還元（1985年）に用いられる球面調和関数の教育的で統一的な導出を提供すること。
• Sn 上のスペクトルを計算するための文献に散見される多様な手法を、Sn を ℝⁿ⁺¹ に埋め込むことによって統一すること。
• 特に、極座標またはステレオグラフィック座標への変換時に局所ローレンツ回転が必要な理由を明確にすることにより、スピン-1/2 調和関数の取り扱いにおける曖昧さを解消すること。
• 超重力における球面調和関数と電磁気学におけるベクトル球面調和関数との明確な関係を確立すること。
• G と H のカシミール作用素を用いた、一般的で迅速な G/H 余空間上のスペクトル計算手法を提示すること。

提案手法

• 球面 Sn を ℝⁿ⁺¹ に埋め込み、誘導計量および共変微分を用いて、スカラー、ベクトル、テンソル球面調和関数を導出する。
• ヤング・テーブルックスおよび SO(n) の表現論を用いて、テンソル的およびスピンル的表現のカシミール作用素 C₂[SO(n)] の固有値を計算する。
• ヤング図式の行長 fi および列長 gj を用いて、C₂[SO(n)] = −r(n−1) − 2Ø という式を適用する。ここで r はボックス数、2Ø = ∑fᵢ² − ∑gⱼ² である。
• スピンルに対しては、C₂[SO(n)]_{spinors} = −[rn + 1/8 n(n−1) + 2Ø] を適用し、r = l および 2Ø = l² − l を用いて、基本スピンル表現の固有値を求める。
• SO(n) と SO(n−1) の表現におけるカシミール固有値の差を用いて、S⁵ 上のスカラー、ベクトル、反対称テンソル、およびスピン-1/2 調和関数のラプラシアン固有値を導出する。
• ディラック作用素および S = /D/D − 1/4R の関係を用いて結果を検証し、S⁵ 上の既知の固有値と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sn 上のスペクトルを計算するためのすべての手法を、Sn を ℝⁿ⁺¹ に埋め込むことによってどのように統一できるか？
• RQ2 スピン-1/2 球面調和関数を極座標またはステレオグラフィック座標に変換する際、なぜ局所ローレンツ回転が必要なのか？
• RQ3 超重力における球面調和関数と電磁気学におけるベクトル球面調和関数との正確な関係は何か？
• RQ4 SO(n) と SO(n−1) のカシミール固有値が、S⁵ 上のカーラッツ＝カインンモードの質量スペクトルをどのように決定するか？
• RQ5 G と H のカシミール作用素を用いて、G/H 余空間上のスペクトルを一般かつ迅速に計算する手法を導出できるか？

主な発見

• S⁵ 上のスカラー調和関数のラプラシアン固有値は、C₂[SO(6)] − C₂[SO(5)] = −5l − l² + l から得られる −l(l + 4)（l = 0, 1, 2, ...）である。
• S⁵ 上の横断的ベクトルの固有値は、SO(6) と SO(5) のベクトル表現におけるカシミール差から得られる −[l(l + 4) − 1]（l = 1, 2, ...）である。
• S⁵ 上の横断的反対称2-テンソルの固有値は、対応するヤング・テーブルックスおよびカシミール値から得られる −[l² + 4l − 2]（l = 1, 2, ...）である。
• S⁵ 上のスピン-1/2 調和関数の固有値は、−(l² + 5l + 10)/8（l = 0, 1, 2, ...）であり、ディラック作用素および S = −(l + 5/2)² + 5 の関係により確認された。
• G = SO(n) と H = SO(n−1) に対してカシミール作用素 C₂(G) と C₂(H) を用いる手法は、G/H 余空間上のスペクトルを迅速かつ一般に計算するための有効な方法を提供する。
• 本稿は、長年のスピン-1/2 調和関数における曖昧さを解消し、局所ローレンツ回転が座標変換において本質的であることを示した。この点は、文献においてしばしば無視されている。