[論文レビュー] Spherical representations of $C^*$-flows I

Yoshimichi Ueda|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Advanced Operator Algebra Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、C*-代数に一パラメータ自己同型群を備えたC*-フロー（C*-flows）の一般化された表現理論を、無限次元群のOlshanskiの球的表現枠組みを拡張することで導入する。グラフのリンクから生じる射影的鎖と、フローを備えたC*-代数の帰納的極限との間の対応を確立し、任意のこのような鎖がKMS状態とβ-球的ベクトルを介してC*-フローから自然に生じることを示す。これにより、表現論的可積分確率と作用素代数的構造が統合される。

ABSTRACT

We propose an abstract framework of a kind of representation theory for $C^*$-flows, i.e., $C^*$-algebras equipped with one-parameter automorphism groups, as a proper generalization of Olshanski's formalism of unitary representation theory for infinite-dimensional groups such as the infinite-dimensional unitary group $\mathrm{U}(\infty)$. The present framework, in particular, clarifies some overlaps and/or similarities between a certain unitary representation theory of infinite-dimensional groups and existing works in operator algebras, and captures arbitrary projective chains arising from links.

研究の動機と目的

• 無限次元群のOlshanskiの球的表現理論をC*-フロー枠組みへ一般化すること。
• 無限次元群のユニタリ表現理論とKMS状態やAF代数などの作用素代数的構成との間の関係を明確化すること。
• 分岐グラフとリンクから生じる射影的鎖のC*-代数的実現を提供すること、特に可積分確率の文脈において。
• 正の重みをもつグラフ上のリンクと連続的フローを備えた原子的W*-代数の帰納的系との間の対応を確立すること。
• Satoの量子群の帰納的極限の研究を、KMS状態とフローを用いたより広範な作用素代数的設定に統合して拡張すること。

提案手法

• C*-フローにおける(αt, β)-球的表現を提案し、KMS状態を介してユニタリ球的表現を一般化する。
• WoronowiczのKMS存在結果を用いて、β-球的ベクトルと帰納的極限のC*-代数上のKMS状態との関係を確立する。
• 正のトレースクラス作用素 ρe で、Tre(ρe) = κ(e) を満たすように、グラフ (Z, E, r, s)、多重度関数 m、正の重み関数 κ(e) > 0 から、C*-代数の帰納的極限 A = lim→An にフロー αt を構成する。
• 自己共役作用素 He = −1/β log ρe に対する関数計算を用いて、αt = (ρ−it/β_e)_e∈E としてフローを定義する。
• 得られたフローが、κ(αt,β)(z,z′) = κ(e) となるように、元のリンク Zn−1 ←κ Zn を誘導することを示す。ここで (z,z′) = (r(e), s(e)) かつ e ∈ En のとき。
• エルゴード法とスペクトル分解を用いて、球的表現の構造とKMS状態との関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元群の球的表現理論をどのようにC*-フロー枠組みに一般化できるか？
• RQ2 分岐グラフ上の射影的鎖とC*-フローに伴うKMS状態との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 コンパクトな量子群の帰納的極限を、フローとKMS状態を用いてC*-代数的枠組みに埋め込む方法は何か？
• RQ4 β-球的ベクトルは作用素代数と可積分確率を結ぶ際に果たす役割は何か？
• RQ5 任意の正の重み付きグラフ上のリンクは、C*-フローに関連するリンクとして実現可能か？

主な発見

• 原子的W*-代数の帰納的極限 A = lim→An に、グラフ (Z, E, r, s)、多重度関数 m、正の重み関数 κ(e) > 0 から明示的にC*-フロー αt を構成可能である。
• 得られたフローは、補題7.1の連続性条件を満たし、κ(αt,β)(z,z′) = κ(e) となるように、元のリンク Zn−1 ←κ Zn を誘導する。ここで (z,z′) = (r(e), s(e)) かつ e ∈ En のとき。
• KMS状態空間 Kln_β(αt) は、完全な距離凸空間として、H+1(κ) = lim←−(M(Zn−1) ←κ M(Zn)) に同型である。
• この構成により、連続的フローと正の重みを持つグラフ上のリンクを備えた、多重度なしの原子的W*-代数の帰納的系との間の全単射対応が確立される。
• この枠組みは、Satoの量子群の帰納的極限と、Gorinの可積分確率におけるcoherent systemsのqアナロジーを一般化・統合する。
• 理論は、球的表現とそのKMS状態実現を分析するためのエルゴード法とスペクトル分解を実現する。