[論文レビュー] Spherical tilings by congruent quadrangles over pseudo-double wheels (III) - the essential uniqueness in case of convex tiles

Yohji Akama, Yudai Sakano|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、擬似二重輪（楔形双多面体）上における球面単形四角形タイル張りが、タイルが凸である場合、すべてが等面的であることを証明し、GrünbaumとShephardの1981年の結果の逆問題を解決している。角度および辺長の割り当てに関する組合せ論的・幾何学的マッチングの議論を用いて、凸性が対称性を強制することを確立し、非凸タイルでは等面的でない場合があることを示している。凸の場合の完全な分類が得られ、一般に成立すると予想されている。

ABSTRACT

In [B.Gruenbaum, G.C. Shephard, Spherical tilings with transitivity properties, in: The geometric vein, Springer, New York, 1981, pp. 65-98], they proved "for every spherical normal tiling by congruent tiles, if it is isohedral, then the graph is a Platonic solid, an Archimedean dual, an n-gonal bipyramid (n>2), or an n-gonal trapezohedron (i.e., the pseudo-double wheel of 2n faces)". In the classification of spherical monohedral tilings, one naturally asks an "inverse problem" of their result: For a spherical monohedral tiling of the above mentioned topologies, when is the tiling isohedral? We prove that for any spherical monohedral quadrangular tiling being topologically a trapezohedron, if the number of faces is 6, or 8, if the tile is a kite, a dart or a rhombi, or if the tile is convex, then the tiling is isohedral.

研究の動機と目的

• GrünbaumとShephardの1981年分類の逆問題を解くこと：特定のトポロジー（例：楔形双多面体）を持つ球面単形張りがいつ等面的になるか。
• 擬似二重輪上における球面単形張りにおいて、四角形タイルの凸性が等面的性を強制するかを特定すること。
• 等面的性の必要十分条件を特定することで、球面単形四角形張りを分類すること、特に凸タイルに対して。
• 禁止パターンと計算フィルタリングを用いた、合同な凸四角形による球面張りの分類フレームワークを提案すること。

提案手法

• 擬似二重輪（楔形双多面体）トポロジーに特化した、辺長および角度を割り当てた平面的グラフを用いて、球面単形四角形張りをモデル化する。
• マッチング理論を適用し、タイル間で角度および辺長を一貫して割り当て、球面上での幾何学的実現可能性を保証する。
• 組合せ論的議論により、特にタイプ2またはタイプ4のタイルに対して、凸性制約下での非等面的配置を除外する。
• キーティング、ダート、ラテンスの先行結果を活用し、より広範な対称四角形クラスへの等面的性の拡張を図る。
• コンピュータ実験を用いて禁止部分構造を同定・除外し、効率的に張りの候補をフィルタリングする。
• 角度および辺長を1つの変数（例：γ）による三角関数的パrameter化を用いて、張りの幾何学的整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬似二重輪上における球面単形張りがいつ等面的になるか。
• RQ2 四角形タイルの凸性が、球面単形四角形張りにおいて等面的性を保証するか。
• RQ3 禁止部分構造フィルタリングと幾何的制約を用いて、球面単形四角形張りを体系的に分類できるか。
• RQ4 擬似二重輪上に凸タイルを用いた非等面的球面単形四角形張りは存在するか。
• RQ5 GrünbaumとShephardの結果の逆が、すべての球面トポロジー（正多面体、アーヒメデス双対多面体、二重錐、楔形双多面体）において凸タイルに対して成り立つか。

主な発見

• F = 6または8の面をもつ、擬似二重輪上における球面単形四角形張りは、タイルの種別にかかわらずすべて等面的である。
• 凸タイルの場合、F ≥ 10の面をもつ、擬似二重輪上における球面単形張りはすべて等面的である。
• タイルがキーティング、ダート、またはラテンスである場合、以前に確立されたように等面的である。
• 非凸なタイプ2またはタイプ4の四角形では、非等面的張りが得られ、12個の凹型タイルを用いた反例によって実証された。
• このような非等面的張りの存在は、逆結果が成り立つために凸性が必須条件であることを確認している。
• コンピュータによるフィルタリングにより、小さな禁止部分構造を用いて、球面四角形分割の40％以上を、凸タイプ2四角形張りの候補から除外できた。