[論文レビュー] Spherically symmetric black holes and affine-null metric formulation of Einstein's equations

Emanuel Gallo, Carlos N. Kozameh+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、球対称ブラックホールの事象の地平面から未来の光的無限遠まで、グローバルに正則な座標系を構築する2つの新規手法を提示する。最初の手法は、アインシュタイン-物質方程式の明示的解から正則な光的座標を導出するものである。第二の手法は、アフィン-光的形式によるアインシュタイン方程式を用いて特徵初期値問題を解くものである。主な貢献は、これらの正則座標系においてリーマン＝ノールストロームブラックホールを直接導出したことであり、これにより地平面付近および無限遠での場の一貫性ある解析が、座標特異性なしに可能になる。

ABSTRACT

The definition of well-behaved coordinate charts for black hole spacetimes can be tricky, as they can lead for example to either unphysical coordinate singularities in the metric (e.g. $r=2M$ in the Schwarzschild black hole) or to an implicit dependence of the chosen coordinate to physical relevant coordinates (e.g. the dependence of the null coordinates in the Kruskal metric). Here we discuss two approaches for coordinate choices in spherical symmetry allowing us to discuss explicitly "solitary" and spherically symmetric black holes from a regular horizon to null infinity. The first approach relies on a construction of a regular null coordinate (where regular is meant as being defined from the horizon to null infinity) given an explicit solution of the Einstein-matter equations. The second approach is based on an affine-null formulation of the Einstein equations and the respective characteristic initial value problem. In particular, we present a derivation of the Reissner-Nordstr\"om black holes expressed in terms of these regular coordinates.

研究の動機と目的

• 標準的なブラックホール計量（例：シュバルツシルト、エディントン＝フィンケルシュタイン）における座標特異性が、地平面付近での物理的解析を妨げるという課題に対処すること。
• 事象の地平面から未来の光的無限遠までグローバルに正則な座標系を構築し、暗黙的または特異的依存を回避すること。
• 地平面付近から漸近領域にわたり、物質および放射場を統一的に扱うための枠組みを提供すること。
• 座標変換によるものではなく、アインシュタイン方程式の直接解法により、アイザラタイプの座標系をリーマン＝ノールストロームブラックホールに拡張すること。
• コンformal幾何学を用いたペネロウズコンパクト化と漸近的解析を、良好に動作する座標枠組み上で一貫して行えるようにすること。

提案手法

• 地平面（y=0）から光的無限遠（y→∞）にわたり、計量成分が有限かつ特異でない正則な光的座標wとアフィンパラメータyを構築する。
• アフィン-光的計量形式によるアインシュタイン方程式を採用し、光線に沿うアフィンパラメータに関する場の式に再定式化することで、光的超曲面全体で正則性を保証する。
• アフィン-光的形式を用いて特徵初期値問題を解き、光的超曲面上のデータから数値的または解析的に時空解を構築可能にする。
• 物質源を伴うアインシュタイン方程式を解くことにより、正則な(w,y)座標系におけるリーマン＝ノールストローム解を直接導出する。特異なチャートからの座標変換を回避する。
• コンフォーマル因子Ω = Υ/(4m)を用いてペネロウズコンパクト化を適用し、Υ = 4m/yであるから、Υ=0におけるコンフォーマル計量が正則であることを示す。
• gwy = 1という幾何的制約を用いて、w=一定の超曲面に沿う生成線に沿ってyが正しくアフィンパラメータであることを保証し、座標系の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称ブラックホールに対して、事象の地平面から未来の光的無限遠まで、グローバルに正則な座標系を構築することは可能か？
• RQ2 アインシュタイン方程式のアフィン-光的形式を用いて、リーマン＝ノールストローム計量のような明示的解を、特異性のない座標系で導出することは可能か？
• RQ3 球対称時空において、アフィンパラメータyと体積半径rとの関係は何か？また、それを用いて正則な座標系を構築するにはどうすればよいか？
• RQ4 標準的な光的座標（例：ボンディのuやクルスクァル＝ゼーケレスの座標）と新しい正則(w,y)座標との関係は何か？物理的解析においてどのような利点を提供するか？
• RQ5 特に未来の光的無限遠において、新しい座標を用いて時空のコンフォーマル構造を一貫して解析することは可能か？

主な発見

• リーマン＝ノールストロームブラックホールが正則な(w,y)座標系において成功裏に導出され、計量が有理関数で表現され、地平面および無限遠で座標特異性を有しないことが確認された。
• コンフォーマル計量 ˆgab = Ω²gab が光的無限遠（Υ=0）で正則であることが示され、ˆgabdxadxb = −2dwdΥ −w²(dθ² + sin²θdφ²) + O(ℓ) と表され、コンパクト化スキームの有効性が裏付けられた。
• 座標ペア(w,y)は、地平面（y=0）から未来の光的無限遠（y→∞）までをカバーする真のグローバルチャートを形成し、暗黙的依存や特異性を有しない。
• アフィンパラメータyが、w=一定の超曲面に沿う光線に沿って正しくアフィンパラメータであることが、計量におけるgwy = 1によって裏付けられた。
• この手法により、コンフォーマル計量が無限遠で有限かつ滑らかであるため、ペネロウズコンパクト化による放射場の漸近的解析が一貫して可能となった。
• 数値相対論や地平面付近の場の理論において、クルスクァル＝ゼーケレス座標やボンディ座標の代替として実用的な枠組みを提供した。