[論文レビュー] Spherically symmetric empty space and its dual in general relativity

Naresh Dadhich|ArXiv.org|Mar 7, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、静止観測者および光線軌道に対するエネルギー密度と収束密度を用いて、一般相対性理論における球対称な真空中時空を新しい形で特徴づける。エネルギー密度（ρ）がゼロ、光線収束密度（ρₙ）がゼロ、エネルギーフラックス（Pᶜ）がゼロであることを示し、それらがシュバルツシルト解を一意に決定することを示した。さらに、リーマン曲率の「能動的」および「受動的」電気的成分を入れ替えることで、真空中解を双対解に写像する双対性変換を導入し、グローバルモノポールやストリングダスト電荷を持つ新たな時空クラスを明らかにした。これには、可能性のあるワームホールやアインシュタイン的反ド・ジッター幾何学が含まれる。

ABSTRACT

In the spirit of the Newtonian theory, we characterize spherically symmetric empty space in general relativity in terms of energy density measured by a static observer and convergence density experienced by null and timelike congruences. It turns out that space surrounding a static particle is entirely specified by vanishing of energy and null convergence density. The electrograv-dual$^{1}$ to this condition would be vanishing of timelike and null convergence density which gives the dual-vacuum solution representing a Schwarzschild black hole with global monopole charge$^{2}$ or with cloud of string dust$^{3}$. Here the duality$^{1}$ is defined by interchange of active and passive electric parts of the Riemann curvature, which amounts to interchange of the Ricci and Einstein tensors. This effective characterization of stationary vacuum works for the Schwarzschild and NUT solutions. The most remarkable feature of the effective characterization of empty space is that it leads to new dual spaces and the method can also be applied to lower and higher dimensions.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における球対称な空の時空を、測定可能なエネルギー密度および収束密度を用いて、物理的に直感的な共変的特徴づけを提供すること。
• リッチテンソルがゼロ（R_ab = 0）である真空中条件が、エネルギー密度および収束密度に基づく、より緩いが物理的に意味のある条件の集合に置き換え可能かどうかを検討すること。
• リーマン曲率の能動的および受動的電気的成分を入れ替えることで、真空中解とその双対解との間の双対性を確立し、新たな物理的時空を導出すること。
• この特徴づけを低次元および高次元に拡張し、ワームホールやトポロジカルな欠际を有するブラックホールなど、新たな解を同定すること。
• キヤー解が、場の重磁気的成分を特定することで同様に特徴づけ可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 静止観測者に対するエネルギー密度 ρ = T_ab u^a u^b を定義し、時間的および光線的測地線を用いて、時間的収束密度 ρ_t = (T_ab - ½T g_ab)u^a u^b および光線的収束密度 ρ_n = T_ab v^a v^b を定義する。
• 曲率座標系でシュバルツシルト解を導出するために、有効な真空中条件 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0（Pᶜ = h^{ac}T_ab u^b = 0）を用いる。
• リーマンテンソルの能動的および受動的電気的成分を入れ替えることで、電磁重力双対性変換を適用し、リッチテンソルからエインシュタインテンソルへの写像および ρ ↔ ρ_t を実現する。
• 双対真空中条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 を導出し、G^0_0 = G^1_1、G^2_2 = 0、G^0_1 = 0 となるエインシュタインテンソル成分を得る。これは、グローバルモノポール電荷を有するシュバルツシルトブラックホールを表す。
• 得られた双対解を解析し、特に g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))² で表される定数 k を持つ場合を検討する。これは、負のエネルギー軌道を有する漸近的に平坦な時空であり、k > 0 の場合にはワームホール幾何学を表す可能性がある。
• リーマン・ノールストローム解（ρ = ρ_t, ρₙ = Pᶜ = 0）およびデ de Sitter 解（ρ + ρ_t = 0, ρₙ = Pᶜ = 0）への拡張を行い、de Sitter と反ド・ジッター時空の間の双対性について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における球対称な空の時空は、静止観測者に対してエネルギー密度、光線収束密度、エネルギーフラックスがすべてゼロであることで完全に特徴づけ可能か？
• RQ2 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 の代わりに、双対条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 を課した場合、どのような物理的時空が得られるか？
• RQ3 リーマン曲率の能動的および受動的電気的成分を入れ替えることで定義される電磁重力双対性変換は、真空中解とその双対解との間でどのように関係するか？
• RQ4 この手法を低次元および高次元に一般化することで、ストリングダストを有する3次元ブラックホールや、グローバルモノポール電荷を有する高次元シュバルツシルト解のような、新たな双対時空を生成可能か？
• RQ5 キヤー解も同様に、場の重磁気的成分を特定することで特徴づけ可能か？さらに必要な追加条件は何か？

主な発見

• 有効な真空中条件 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 は、曲率座標系でシュバルツシルト解 g_00 = 1 - 2GM/r を一意に決定する。リッチテンソル全体がゼロである必要はなく、十分である。
• 双対条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 は、グローバルモノポール電荷またはストリングダストを有する時空を導出し、トポロジカル欠际を有するシュバルツシルト解に対応する。
• g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))² および g_11 = -(1 - 2GM/r)^{-1} で表される双対解は、漸近的に平坦な時空を表し、k > 0 の場合にはワームホール幾何学を、k < 0 の場合にはエゴスフィアを有するブラックホールを表す可能性がある。
• k < 0 の場合、r_s = 2GM/(1 - k²) に静止表面が存在し、r_h = 2GM にホライズンが存在する。これにより、k に関連するエネルギーをペネロープ過程で抽出可能である。
• リーマン・ノールストローム解は ρ = ρ_t、ρₙ = Pᶜ = 0 で特徴づけられ、トレースフリーなエネルギー運動量テンソルに対応する。一方、de Sitter 空間は ρ + ρ_t = 0、ρₙ = Pᶜ = 0 で特徴づけられ、R_ab = Λ g_ab を意味する。
• 電磁重力双対性変換は、de Sitter（Λ > 0）と反ド・ジッター（Λ < 0）時空を交換し、両者が電磁重力双対性の下で互いに双対的であることを示している。