[論文レビュー] Spherically-symmetric solutions in general relativity

Do Young Kim, A. Lasenby+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、球対称時空におけるアインシュタイン場方程式を解くためのテトラッドに基づく手法を提示する。この手法は、Lemaître–Tolman–Bondi（LTB）モデルの代替として、ゲージ不変で物理的に解釈可能な手法を提供する。本手法は非ゼロの圧力を扱えるほか、ゲージの曖昧さを回避し、真空領域においてメトリックおよびテトラッドの両レベルでバーキホフの定理を検証する。さらに、$R_{\rm h}=ct$宇宙論的モデルの理論的基盤を再評価する。

ABSTRACT

We present a tetrad-based method for solving the Einstein field equations for spherically-symmetric systems and compare it with the widely-used Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) model. In particular, we focus on the issues of gauge ambiguity and the use of comoving versus 'physical' coordinate systems. We also clarify the correspondences between the two approaches, and illustrate their differences by applying them to the classic examples of the Schwarzschild and Friedmann-Robertson-Walker spacetimes. We demonstrate that the tetrad-based method does not suffer from the gauge freedoms inherent to the LTB model, naturally accommodates non-zero pressure and has a more transparent physical interpretation. We further apply our tetrad-based method to a generalised form of 'Swiss cheese' model, which consists of an interior spherical region surrounded by a spherical shell of vacuum that is embedded in an exterior background universe. In general, we allow the fluid in the interior and exterior regions to support pressure, and do not demand that the interior region be compensated. We pay particular attention to the form of the solution in the intervening vacuum region and verify the validity of Birkhoff's theorem at both the metric and tetrad level. We then reconsider critically the original theoretical arguments underlying the so-called $R_h = ct$ cosmological model, which has recently received considerable attention. These considerations in turn illustrate the interesting behaviour of a number of 'horizons' in general cosmological models.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における球対称時空のアインシュタイン場方程式を解くためのゲージ不変で物理的に解釈可能な手法を開発すること。
• 特に非ゼロの圧力を有する系において顕在する、LTBモデルに内在するゲージの曖昧さと共動座標の制限を克服すること。
• 特に一般化されたスイスチーズモデルにおける圧力が存在する状況を含め、真空領域においてメトリックおよびテトラッドの両レベルでバーキホフの定理が成立することを検証すること。
• $R_{\rm h}=ct$宇宙論的モデルの理論的基盤を批判的に評価すること、特に共動Hubble距離が一定であるという仮定の物理的妥当性を検討すること。
• 均一かつ等方的モデルの進化過程において、シュバルツシルト半径、Hubble半径、de Sitter半径といった宇宙論的ホライズンの動的挙動を分析すること。

提案手法

• 本稿では、微分幾何学的代数に基づいて導出されたテトラッド形式を、従来のテトラッド表記に再表現することで、球対称時空におけるアインシュタイン場方程式を解く。
• 物理的（非共動）径方向座標を用いることで、メトリック成分の直接的な物理的解釈が可能となり、共動座標のラグランジュ的図式を回避する。
• 標準的なLTBモデルが圧力のない流体を仮定するのに対し、本手法は内側および外側の流体領域における非ゼロの圧力を自然に扱える。
• 流体領域と真空領域の界面に境界条件を適用し、真空シェルの取り扱いに注意を払い、連続性と整合性を確保する。
• 本手法は、テトラッド形式における真空解がシュバルツシルト解に簡約されることを示すことにより、バーキホフの定理を検証する。
• 本手法は、内部流体領域、真空シェル、外部背景宇宙を有する一般化されたスイスチーズモデルに適用され、すべての領域で非ゼロの圧力を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テトラッドに基づく手法は、LTBモデルに見られるゲージの曖昧さを解消しつつ、物理的明確性を維持できるか？
• RQ2 球対称時空において、特に真空シェルおよび埋め込まれた流体領域を含め、テトラッドに基づく手法は非ゼロの圧力をどのように扱えるか？
• RQ3 バーキホフの定理はテトラッドレベルでも成立するか？また、周囲のシェルの質量および位置に依存して真空解がどのように変化するか？
• RQ4 $R_{\rm h}=ct$宇宙論的モデルの理論的基盤は何か？特に、共動Hubble距離が一定であるという仮定は物理的に妥当か？
• RQ5 共動流体境界の進化過程において、シュバルツシルト半径、Hubble半径、de Sitter半径といった宇宙論的ホライズンはどのように相互作用するか？（平坦モデルおよび$\Lambda \neq 0$モデルを含む。）

主な発見

• テトラッドに基づく手法は、非ゼロの圧力を有する球対称系に対して、LTBモデルに見られるゲージの曖昧さを回避しながら、アインシュタイン場方程式を効果的に解ける。
• 共動座標を用いるLTB手法とは異なり、物理的径方向座標を用いることで、明確な物理的解釈が可能となる。
• バーキホフの定理はメトリックレベルでの検証に加え、明示的にテトラッドレベルでも検証され、球対称な真空解がシュバルツシルト解として正当化される。
• 薄い球状シェルの内部真空領域は、シェルの質量および位置に依存し、シェルがない場合と比較して、内部のポテンシャル井戸がより深くなることが確認された。
• 共動流体境界 $a(t)$ は、Hubble半径およびシュバルツシルト半径を同時に通過する。その瞬間、境界に位置する流体は速さ $c$ で移動する。この現象は $\Lambda = 0$ および $\Lambda \neq 0$ の両モデルで観察された。
• $\Lambda \neq 0$ のモデルでは、後続の段階で境界は再びHubble半径を通過し、同時にde Sitter半径にも達する。この瞬間も、境界に位置する流体は速さ $c$ で移動しており、二重ホライズン通過の挙動が確認された。