[論文レビュー] Spherically-symmetric solutions with a chain of n internal Ricci-flat spaces

В. Д. Иващук|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$ n $ 個の内部でリッチ平坦な多様体を持つ高次元時空へのシュヴァルツシルト解の一般化を行い、正確な球対称な真空中解を導出する。主な結果は、4次元部分にホライズンが存在するのは、すべての内部空間スケール因子が定数である場合に限ることであり、そのとき解は標準的なシュヴァルツシルト計量に還元される。それ以外の場合は、$ R = L $ の近傍で光線の伝播が発散するためホライズンは形成されない。スカラー真空拡張では、最小に結合されたスカラー場を含め、曲率制約は変更されるがホライズン条件は保たれる。

ABSTRACT

The Schwarzschild solution is generalized for the case of n internal Ricci-flat spaces. It is shown that in the four-dimensional section of the metric a horizon exists only when the internal space scale factors are constant. The scalar-vacuum generalization of the solution is also presented. [This paper is the English translation of the part of Chapter. 2.4 of the author's PhD dissertation (Moscow, 1989).]

研究の動機と目的

• $ n $ 個の内部でリッチ平坦な多様体を持つ時空へのシュヴァルツシルト解の拡張。
• 4次元部分の計量においてホライズンが形成される条件の特定。
• 最小に結合されたスカラー場を含めることによるスカラー真空一般化の導出。
• スケール因子の時間発展がホライズン形成および因果構造に与える影響の分析。

提案手法

• 調和半径座標を用いて、$ n $ 個の内部でリッチ平坦な多様体と半径変数 $ u $ を持つ球対称計量のアンザッツを導出する。
• 真空アインシュタイン方程式 $ R_{MN} = 0 $ を、$ \beta_\nu(u) $、$ \alpha_0(u) $、$ \gamma(u) $ を含む常微分方程式系に還元して解く。
• 新しい半径座標 $ R $ を、$ f(\bar{u}, B) $ を含む変換によって導入し、解の座標不変性を明示的に表現する。
• $ R = e^{-\sum_{\nu \neq 0} D_\nu N_\nu} \times \text{function}(\bar{u}, B) $ の変換を適用し、計量を $ R $、$ L $、定数 $ a $、$ a_i $ で表現する。
• 最小に結合されたスカラー場 $ \varphi $ を追加することでスカラー真空拡張を導出し、源項 $ \kappa^2 \partial_M \varphi \partial_N \varphi $ を含む修正されたアインシュタイン方程式を得る。
• 解のための仮定 $ \varphi = Qu + \bar{\varphi}_0 $ を導入し、対数解 $ \varphi = \frac{1}{2}q \ln(1 - L/R) + \varphi_0 $ を得、新たな制約式 (20) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部でリッチ平坦な多様体が $ n $ 個ある時空の4次元部分にホライズンが形成される条件は何か？
• RQ2 内部空間スケール因子の時間発展が因果構造およびホライズン形成に与える影響は何か？
• RQ3 スカラー場が曲率制約およびホライズン条件をどのように修正するか？
• RQ4 特殊な場合に解が標準的なシュヴァルツシルト計量にどのように還元されるか？
• RQ5 スカラー真空拡張におけるホライズン存在の必要十分条件は何か？

主な発見

• 4次元部分にホライズンが $ R = L $ に存在するのは、すべての内部空間スケール因子が定数である場合に限る。すなわち $ a_1 = \cdots = a_n = 0 $ かつ $ a = 1 $ のときであり、そのとき解は標準的なシュヴァルツシルト計量に還元される。
• 内部スケール因子が変化する場合（$ a_i \neq 0 $）には、径方向光線の積分は $ R = L $ で収束するが、赤方偏移の挙動が定数でないため、計量はホライズンを表さない。
• ホライズン存在の条件は $ |a + \frac{1}{2}\sum a_i N_i| < 1 $ に等しく、$ a = \pm 1 $ かつ $ a_i = 0 $ のときには破れるが、ホライズンが存在するのは $ a = 1 $ のみである。
• スカラー真空の場合、ホライズン条件が保たれるのは $ q = a - 1 = a_1 = \cdots = a_n = 0 $ のときであり、これはスカラー場が自明でなければならないことを意味する。
• $ L = 0 $ のとき、$ a $、$ a_i $ の値に関わらず解は自明（4次元が平坦で内部スケール因子が定数）であり、重力的収縮は起こらない。
• 制約式 (20) は (10) をスカラー電荷 $ q $ を含む形に一般化したものであり、$ \kappa^2 q^2 $ が曲率のバランスに寄与するが、$ q = 0 $ のときを除きホライズン条件を変えることはない。