[論文レビュー] Spike-adding and reset-induced canard cycles in adaptive integrate and fire models

Mathieu Desroches, Piotr Kowalczyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 29被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、区分線形なサブスレッショルドダイナミクスと2つのリセット条件を持つ適応型インテグレートアンドファイア（AIF）モデルを研究し、任意の整数Nに対してN回のリセットを伴うバーストサイクルの存在を証明する。スパイク・アーリング遷移がN-および(N+1)-リセットサイクル間で起こる際、特にN=2の場合に、カナードサイクルがその組織的要因であることを理論的分析と数値連続法による2点境界値問題の再定式化を用いて示している。

ABSTRACT

We study a class of planar integrate and fire (IF) models called adaptive integrate and fire (AIF) models, which possesses an adaptation variable on top of membrane potential, and whose subthreshold dynamics is piecewise linear (PWL). These AIF models therefore have two reset conditions, which enable bursting dynamics to emerge for suitable parameter values. Such models can be thought of as hybrid dynamical systems. We consider a particular slow dynamics within AIF models and prove the existence of bursting cycles with $N$ resets, for any integer $N$. Furthermore, we study the transition between $N$- and $(N+1)$-reset cycles upon vanishingly small parameter variations and prove (for $N=2$) that such transitions are organised by canard cycles. Finally, using numerical continuation we compute branches of bursting cycles, including canard-explosive branches, in these AIF models, by suitably recasting the periodic problem as a two-point boundary-value problem.

研究の動機と目的

• 区分線形なサブスレッショルドダイナミクスと2つのリセット条件を持つ適応型インテグレートアンドファイア（AIF）モデルにおけるバーストダイナミクスの出現を調査すること。
• 特定の遅いダイナミクスの仮定の下で、任意の整数Nに対してN回のリセットを伴う極限サイクルの存在を証明すること。
• N-および(N+1)-リセットサイクル間のスパイク・アーリング遷移を分析し、特にカナードサイクルがその遷移をどのように組織しているかに注目すること。
• 周期的問題を2点境界値問題に再定式化することで、バーストサイクル（特にカナード・エクスプローシブな分岐を含む）を計算するための数値連続法フレームワークを構築・適用すること。
• 非滑らかなAIFモデルのダイナミクスと滑らかなスクエアウェーブバースタのダイナミクスを比較し、カナード行動と分岐構造における類似点と相違点を明らかにすること。

提案手法

• AIFモデルは、区分線形なサブスレッショルドダイナミクスと膜電位および適応変数の2つのリセットルールを持つハイブリッド力学系として定式化される。
• 理論的分析を用いて、遅い適応ダイナミクスに関する仮定の下でNリセット極限サイクルの存在を証明する。
• N=2からN=3へのスパイク・アーリング遷移に関して、幾何学的特異摂動理論を用いて遷移を組織するカナードサイクルの存在を証明する。
• 数値連続法は、周期的問題を適切な境界条件および停止条件を備えた2(N+2)次元の2点境界値問題に再定式化することで適用される。
• この手法により、AUTOソフトウェアパッケージを用いて、Nリセットサイクルの全分岐、特にカナード・エクスプローシブな領域を含む分岐の計算が可能となる。
• 分岐の検出と自動分岐スイッチングが含まれており、今後の拡張では検出精度と自動化の向上を計画している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分線形ダイナミクスと2つのリセットを有するAIFモデルは、任意のリセット数Nを伴うバーストサイクルを支持するか？
• RQ2 AIFモデルにおけるN-および(N+1)-リセットサイクル間の遷移は、特にN=2の場合にカナードサイクルによって組織されているか？
• RQ3 この非滑らかなAIFモデルにおけるカナードサイクルの幾何学的およびダイナミカルな性質は、滑らかな遅い-速い系におけるそれらとどのように異なるか？
• RQ4 周期的問題を2点境界値問題に再定式化することで、非滑らかでリセットに基づくIFモデルに対し、数値連続法が効果的に適用可能か？
• RQ5 リセット誘発型カナードは、AIFモデルの可動性およびバースト領域におけるスパイク・アーリング理解にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 適切な遅い適応ダイナミクスの仮定の下で、任意の整数Nに対してNリセットバーストサイクルの存在が厳密に証明された。
• N=2からN=3へのスパイク・アーリング遷移に関して、遷移を組織するカナードサイクルの存在が証明され、このAIFモデルにカナード誘発型スパイク・アーリングが存在することが確認された。
• 問題を2点境界値形式に再定式化することで、数値連続法がNリセット極限サイクルの全分岐、特にカナード・エクスプローシブな分岐を効果的に計算できた。
• パrameter空間において、N-および(N+1)-リセットサイクルの分岐がカナード領域の存在により指数的に近接しているため、不連続ではあるが非常に構造的なスパイク・アーリング遷移が示された。
• 非滑らかなフレームワークにおいて、2種類の最大カナードがモデルに存在し、臨界多様体の幾何学的構造とリセットの存在により、滑らかな系とは異なる特徴を示した。
• AIFモデルのダイナミクスは、カナードが遷移を組織しバーストの形状を決定するという点で、滑らかなスクエアウェーブバースタと強く類似しており、分岐構造や臨界多様体の幾何学的性質における相違点を除いては、類似点が顕著に見られた。