[論文レビュー] Spin 1/2 particle in the field of the Dirac string on the background of de Sitter space-time

В. М. Редьков, E. Ovsiyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、de Sitter時空におけるスピン1/2粒子と結合するディラックモノポールに対するディラック方程式を、スピンター・モノポール調和関数の代わりにウィグナーD関数を用いて検討する。超幾何関数を用いて正確な解を導出し、径方向解を特異的、正則的、および入射／出射波型に分類する。特に、最小全角運動量状態に注目し、これはミンコフスキー空間におけるものよりも複雑である。解は平坦極限において標準的なミンコフスキー空間の結果に還元される。

ABSTRACT

The Dirac monopole string is specified for de Sitter cosmological model. Dirac equation for spin 1/2 particle in presence of this monopole has been examined on the background of de Sitter space-time in static coordinates. Instead of spinor monopole harmonics, the technique of Wigner D-functions is used. After separation of the variables, detailed analysis of the radial equations is performed; four types of solutions, singular, regular, in- and out- running waves, are constructed in terms of hypergeometric functions. The complete set of spinor wave solutions Ψ_{ε, j,m, λ}(t,r, θ, ϕ) has been constructed, special attention is given to treating the states of minimal values of the total angular moment j_{\min}.

研究の動機と目的

• スピン1/2粒子がde Sitter時空背景におけるディラックモノポールの存在下でどのように振る舞うかを調査すること。
• 平坦なミンコフスキー空間を超えた曲がった時空におけるディラック方程式の取り扱いを、特に磁気モノポール場に対して拡張すること。
• 従来のスピンター・モノポール調和関数の代わりにウィグナーD関数を用いて、全角運動量量子数 $j, m, \lambda$ を明確に持つスピンター波動関数の完全な集合を構築すること。
• 特に最小全角運動量量子数 $j_{\min}$ に対応する径方向解を詳細に分析すること。これは平坦空間におけるものよりも複雑である。
• de Sitter時空の曲率半径 $\rho \to \infty$ の極限において、解が既知のミンコフスキー空間の解に還元されることを示すことにより、解の整合性を検証すること。

提案手法

• 静的de Sitter座標系における tetrad 表 formalism を用いて、背景モノポール場を伴うディラック方程式を表現する。
• シュヴィンガーの形式によるディラックストリングポテンシャルを導入し、特に $A_\phi = g\cos\theta$ を採用する。これはde Sitter時空におけるマクスウェル方程式を満たす。
• ウィグナーD関数を用いてディラック方程式の変数分離を行い、全角運動量量子数 $j, m, \lambda$ を持つスピンター解の構築を可能にする。
• 得られた径方向方程式を、エネルギー、質量、モノポール電荷に依存するパラメータを含む超幾何関数を用いて正確に解く。
• 径方向挙動に基づき、4種類の解に分類する：特異的、正則的、および入射／出射波型。
• de Sitter曲率半径 $\rho \to \infty$ の極限手続きを実行し、ミンコフスキー空間解への回復を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックモノポールがde Sitter時空におけるディラック方程式に与える影響は何か？
• RQ2 de Sitter背景におけるモノポール場を伴う径方向ディラック方程式の正確解は何か？
• RQ3 最小全角運動量状態 $j_{\min}$ の解は、ミンコフスキー空間におけるものとどのように異なるか？
• RQ4 de Sitter解はどの程度平坦極限において標準的なミンコフスキー空間解に還元されるか？
• RQ5 ウィグナーD関数形式を用いて、モノポール場を伴う曲がった時空におけるスピンター解の完全な集合を有効に構築できるか？

主な発見

• ウィグナーD関数を用いて、全角運動量量子数 $\epsilon, j, m, \lambda$ を持つスピンター波動関数 $\Psi_{\epsilon,j,m,\lambda}(t,r,\theta,\phi)$ の完全な集合が構築され、de Sitter時空におけるモノポールを伴うディラック場の完全な基底が得られた。
• 径方向解は4種類に分類される：特異的、正則的、および入射／出射波型。すべてがエネルギー、質量、モノポール電荷から導かれる特定のパラメータを有する超幾何関数で表される。
• 最小全角運動量状態 $j_{\min}$ の解は、ミンコフスキー空間におけるものよりも著しく複雑であることが判明し、曲率およびトポロジーの非自明な効果が示唆された。
• de Sitter曲率半径 $\rho \to \infty$ の極限において、解は標準的なミンコフスキー空間の解（余弦および正弦波）に還元され、平坦空間物理と整合していることが確認された。
• 超幾何関数の $\rho \to \infty$ 極限における振る舞いが解析的に検証され、それぞれ $\cos pr$ および $\sin pr$ に収束することが示された。
• ウィグナーD関数を用いた手法により、スピンター・モノポール調和関数の使用を回避し、トポロジカルに非自明な曲がった時空背景におけるディラック方程式の解法に体系的なアプローチが可能となった。