[論文レビュー] Spin and Anholonomy in General Relativity

R. Aldrovandi, P. B. Barros+1 more|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論において、スピンとねじれの間の見かけ上の結合が、実際には四元標構の非可換性に起因することを示している。主な結果は、一般相対性理論のテレパラレル同等形式において、存在するのはまさに非可換性係数に他ならないねじれであるということであり、これはスピン-重力結合が根本的なねじれではなく、非慣性系における慣性効果に起因することを示している。

ABSTRACT

In the general case, torsion couples to the spin current of the Dirac field. In General Relativity, the apparent torsion field to which the spin current of the Dirac field couples is a mere manifestation of the tetrad anholonomy. Seen from the tetrad frame itself, it has for components the anholonomy coefficients. The latter represent mechanical characteristics of the frame. In the teleparallel equivalent of General Relativity, this coefficient turns out to be the only torsion present.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるスピン-ねじれ結合の物理的起源を明確にすること。
• ディラック方程式における見かけのねじれ結合が、時空自体のねじれではなくフレームの非可換性に起因することを示すこと。
• テレパラレル一般相対性理論において、存在するのは非可換性係数に限ることを確立すること。
• 非慣性系における慣性効果（加速度と回転）が、非可換性係数を介してスピン接続にどのように符号化されるかを示すこと。

提案手法

• 局所ローレンツフレームを定義し、リーマン接続を四元標構成分で表現する。
• クリストッフェル記号を四元標構への射影によって得られるスピン接続 $\stackrel{\circ}{\omega}^{a}{}_{bc}$ を導出し、ディラック方程式におけるその役割を示す。
• 非可換性係数 $f^{a}{}_{bc}$ を四元標構フレームにおけるスピン接続の成分として導入し、機械的フレーム特性を表す。
• 時空的曲線に沿ったフェルミ＝ウォーカー輸送を分析し、スピン接続が消える慣性系を定義する。
• 任意の非慣性系におけるスピン接続が、慣性系からのローレンツ変換の時間微分に関係することを示す。
• テレパラレル形式において $T^{a}{}_{cb} = -f^{a}{}_{cb}$ を示し、ねじれが負の非可換性係数に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論におけるディラック方程式において、スピンとねじれの間の見かけの結合の物理的起源は何か？
• RQ2 加速度や回転といった慣性効果は、非慣性四元標構フレームのスピン接続にどのように現れるか？
• RQ3 一般相対性理論のテレパラレル同等形式において、非可換性係数とねじれテンソルの関係は何か？
• RQ4 非慣性フレームにおけるスピン接続は、慣性系からのブーストおよび回転の時間微分から完全に再構成可能か？
• RQ5 なぜスピン接続は慣性系で消えるのか？ これは、このようなフレームで見かけのねじれが存在しないこととどのように関係するか？

主な発見

• ディラック場のスピン密度は、時空自体のねじれではなく、四元標構フレームの非可換性に結合する。
• 非可換性係数 $f^{a}{}_{bc}$ は、慣性系に対するフレームの加速度および回転を表す。
• 一般相対性理論のテレパラレル同等形式において、存在するのは $T^{a}{}_{cb} = -f^{a}{}_{cb}$ のみであり、ねじれがフレームの非可換性の顕現に他ならないことを示している。
• 非慣性フレームにおけるスピン接続は $\stackrel{\circ}{\omega}^{a}{}_{bc} = h_{c}(\alpha^{a}{}_{b})$ で与えられ、ここで $\alpha^{a}{}_{b}$ はブーストおよび回転パラメータである。
• ブーストパラメータの時間微分はフレームの加速度を与える：$f^{0k}{}_{0} = \stackrel{\circ}{a}{}^{k} = \stackrel{\circ}{\omega}^{k}{}_{00}$。
• 回転角の時間微分は角速度を与える：$f_{0ij} = -\stackrel{\circ}{\omega}_{ij0} = -\epsilon_{ijk}\omega^{k}$ であり、スピン接続がリッチの回転係数と関係している。