[論文レビュー] Spin-dependent Bohm trajectories for Pauli and Dirac eigenstates of hydrogen

C. Colijn, Edward R. Vrscay|ArXiv.org|Apr 29, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、スピンに依存する誘導則を組み込んだパウリ方程式およびディラック方程式を用いて、水素原子の固有状態に対するド・ブロイ＝ボームの因果的解釈を適用する。エネルギーと全角運動量固有状態の電子が、一定の角速度でz軸回りの円運動を描くことを示し、非相対論的極限において非相対論的パウリ理論と相対論的ディラック理論の結果が完全に一致することを示している。

ABSTRACT

The de Broglie-Bohm causal theory of quantum mechanics is applied to the hydrogen atom in the fully spin-dependent and relativistic framework of the Dirac equation, and in the nonrelativistic but spin-dependent framework of the Pauli equation. Eigenstates are chosen which are simultaneous eigenstates of the energy H, total angular momentum M, and z component of the total angular momentum M_z. We find the trajectories of the electron, and show that in these eigenstates, motion is circular about the z-axis, with constant angular velocity. We compute the rates of revolution for the ground (n=1) state and the n=2 states, and show that there is agreement in the relevant cases between the Dirac and Pauli results, and with earlier results on the Schrodinger equation.

研究の動機と目的

• 水素原子の相対論的かつスピン依存的領域におけるド・ブロイ＝ボーム理論の拡張を目的とする。
• パウリおよびディラックの水素固有状態、特にエネルギー、全角運動量、およびそのz成分の同時固有状態にスピン依存の誘導則を適用する。
• パウリおよびディラック枠組みにおける電子軌道の角速度を計算・比較し、非相対論的極限での一貫性を検証する。
• 水素様状態におけるシュレーディンガー方程式、パウリ方程式、ディラック方程式から導かれるボーム軌道の整合性を示す。
• スピンなしの状態からスピン1/2系へのボーム軌道の計算を体系的に行う手法を提供すること。

提案手法

• スピン依存の運動量を含むド・ブロイ＝ボーム誘導則を採用：$\mathbf{p} = \nabla S + \nabla \log \rho \times \mathbf{s}$、ここで $\rho = \psi^\dagger \psi$。
• 粒子軌道を計算するために、ディラック電流 $\mathbf{j} = c \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi$ およびパウリ電流 $\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^\dagger \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\dagger) + \frac{\hbar}{2m} \nabla \times (\psi^\dagger \boldsymbol{\sigma} \psi)$ を用いる。
• H、M、M_zの固有状態を仮定し、球座標における誘導則を用いて方位角 $\phi(t)$ の時間発展を解く。
• パウリおよびディラック枠組みにおいて、n=1およびn=2状態（1s、2s、2p_0、2p_{1/2}、2p_{3/2}）の角速度 $d\phi/dt$ を計算する。
• ディラック結果の非相対論的極限（$c \to \infty$）をとり、先行研究のパウリおよびシュレーディンガーに基づく結果と比較する。
• 水素原子の波動関数を $\psi_{nlm}$ 基底で表し、パウリおよびディラックの場合のスピンラーを用いて、$\rho$ および $\mathbf{j}$ を明示的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンおよび相対論的効果を含めた場合、水素固有状態のド・ブロイ＝ボーム軌道は円運動を保つのか？
• RQ2 ディラック枠組みにおけるボーム軌道の角速度は、パウリおよびシュレーディンガー枠組みと比べてどうなるか？
• RQ3 ディラックに基づくボーム軌道の非相対論的極限は、パウリおよびシュレーディンガーの結果と整合的か？
• RQ4 誘導則におけるスピン依存項が、実数の固有状態において軌道運動を生成する役割を果たすか？
• RQ5 ボーム軌道法は、スピンなしの状態からスピン1/2系への相対論的量子力学への一貫した拡張が可能か？

主な発見

• 研究された水素のすべての固有状態において、電子はzが一定の平面内で一定の角速度 $d\phi/dt$ をもって円運動を描く。
• 1s状態の角速度は $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2}$ であり、非相対論的シュレーディンガー結果と一致する。
• n=2状態では角速度は $\theta$ および $r$ に依存し、非相対論的極限では $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2} \left(3 - \frac{r}{2a}\right)$ となる。
• ディラック方程式の非相対論的極限は、パウリ結果と正確に一致し、フレームワーク間の一貫性が確認された。
• 2p_{3/2}状態では角速度が $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{2m_e a r} \left( \frac{8\cos^2\theta - \sin^2\theta}{4\cos^2\theta + \sin^2\theta} \right)$ となり、$c \to \infty$ 極限でパウリ形式に還元される。
• スピン固有状態（例：1s、2s、2p_0）の場合、パウリ軌道は以前のシュレーディンガーに基づくボーム軌道と定量的に一致する。