[論文レビュー] Spin Foam Models and the Classical Action Principle

Laurent Freidel, Kirill Krasnov|ArXiv.org|Jul 13, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本論文は、時空内の2次元表面に集中する分布的配置のB場に注目することで、古典的作用関数からスピンフォーム模型を体系的に導出する手法を提案する。BF理論の周りでの摂動論を用い、BF理論および2次元ヤンミルズ理論の既知の模型を再現するとともに、3次元および4次元の宇宙定数項を含むBF理論に対する1次摂動補正を計算し、既存の状態和模型と整合することを確認した。

ABSTRACT

We propose a new systematic approach that allows one to derive the spin foam (state sum) model of a theory starting from the corresponding classical action functional. It can be applied to any theory whose action can be written as that of the BF theory plus a functional of the B field. Examples of such theories include BF theories with or without cosmological term, Yang-Mills theories and gravity in various spacetime dimensions. Our main idea is two-fold. First, we propose to take into account in the path integral certain distributional configurations of the B field in which it is concentrated along lower dimensional hypersurfaces in spacetime. Second, using the notion of generating functional we develop perturbation expansion techniques, with the role of the free theory played by the BF theory. We test our approach on various theories for which the corresponding spin foam (state sum) models are known. We find that it exactly reproduces the known models for BF and 2D Yang-Mills theories. For the BF theory with cosmological term in 3 and 4 dimensions we calculate the terms of the transition amplitude that are of the first order in the cosmological constant, and find an agreement with the corresponding first order terms of the known state sum models. We discuss implications of our results for existing quantum gravity models.

研究の動機と目的

• 古典的作用原理とスピンフォーム状態和模型との間の直接的で体系的な関係を確立すること。
• 既知のスピンフォーム模型とその古典的対応物との間の明確で構築可能な接続の欠如に応えること。
• 2〜4次元時空におけるBF理論、ヤンミルズ理論、重力理論に適用可能なフレームワークを構築すること。
• 既知の模型に対してこの手法を適用し、摂動論の1次で一致するかを検証すること。
• スピンフォーム形式に基づく量子重力模型への応用可能性を検討すること。

提案手法

• B場の分布的配置（三角形分割された時空多様体内の2次元多角形上でのみ非ゼロ）に対する経路積分を用いる。
• 古典的作用はこれらの分布的場上で評価され、2次元表面上の積分の和として現れ、理論の離散化に効果的に寄与する。
• 自由理論としてBF理論を基準に摂動論を展開し、追加の作用項を摂動として扱う。
• 生成関数の形式を用いて、スピンフォームの和として遷移振幅を体系的に計算する。
• 作用を単体の面に関連するバイベクトルの言語で表現する。特に4次元では自己双対部と反自己双対部を用いる。
• 4単体の体積はバイベクトルの外積を用いて表現され、自己双対部を用いた特定の式と1/30の正規化係数を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的作用関数からスピンフォーム模型を体系的に構成する手続きを導出可能か？
• RQ2 時空内の2次元表面に集中する分布的B場配置が経路積分に与える影響と、それが状態和模型にどのように導くか？
• RQ3 提案手法はBF理論および2次元ヤンミルズ理論の既知のスピンフォーム模型を再現するか？
• RQ4 宇宙定数項を含むBF理論における宇宙定数の1次補正は何か？ そして、既知の状態和模型と一致するか？
• RQ5 このフレームワークは、特に4次元において量子重力模型に拡張可能か？

主な発見

• 本手法は、任意次元におけるBF理論の既知のスピンフォーム模型を正確に再現する。
• 本手法は、2次元ヤンミルズ理論の既知の状態和模型を成功裏に再現する。
• 3次元および4次元における宇宙定数項を含むBF理論について、宇宙定数の1次補正が既知の状態和模型の対応する項と一致する。
• 4単体の体積は、その面に関連するバイベクトルの自己双対部を用いて正しく表現され、30組の非隣接面のペアの和を補正するための正規化係数1/30を含む。
• バイベクトル間の閉じる関係（例：E₀₁₂ + E₀₂₃ − E₀₁₃ − E₁₂₃ = 0）が満たされ、4次元単体幾何における幾何的制約と整合している。
• バイベクトルの自己双対部のノルムは、対応する面の面積の2乗に等しく、モデルにおけるバイベクトルの幾何的解釈を確認する。