[論文レビュー] Spin Geometry and Some Applications

Ümit Ertem|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 2

ひとこと要約

このレビューは、スピン幾何学と理論物理学、および強縮物性物理学を結びつける包括的な枠組みを確立し、クリフォード代数、ツイスターおよびキリングスピンォル、ディラック作用素のインデックスが、トポロジカルな絶縁体および超伝導体の分類に根ざしていることを示している。周期的表はクリフォード代数の「チェス盤」構造とアティヤ＝シンガーのインデックス定理から導出され、スピンォル双一次形および対称性作用素から拡張された超代数が構成されている。

ABSTRACT

In this review, basic definitions of spin geometry are given and some of its applications to supersymmetry, supergravity and condensed matter physics are summarized. Clifford algebras and spinors are defined and the first-order differential operators on spinors which lead to the definitions of twistor and Killing spinors are discussed. Holonomy classification for manifolds admitting parallel and Killing spinors are given. Killing-Yano and conformal Killing-Yano forms resulting from the spinor bilinears of Killing and twistor spinors are introduced and the symmetry operators of special spinor equations are constructed in terms of them. Spinor bilinears and symmetry operators are used for constructing the extended superalgebras from twistor and Killing spinors. A method to obtain harmonic spinors from twistor spinors and potential forms is given and its implications on finding solutions of the Seiberg-Witten equations are discussed. Supergravity Killing spinors defined in bosonic supergravity theories are considered and possible Lie algebra structures satisfied by their spinor bilinears are examined. Spin raising and lowering operators for massless field equations with different spins are constructed and the case for Rarita-Schwinger fields is investigated. The derivation of the periodic table of topological insulators and superconductors in terms of Clifford chessboard and index of Dirac operators is summarized.

研究の動機と目的

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• スピン幾何学と物質のトポロジカル相を結びつける統一的な数学的枠組みを確立すること。
• クリフォード代数の構造とディラック作用素のインデックスから、トポロジカルな絶縁体および超伝導体の周期的表を導出すること。
• ツイスター、キリング、および調和スピンォルといった特別なスピンォルが、拡張された超代数および対称性作用素を構成する役割を明らかにすること。
• スピン幾何学を用いて、強縮系におけるトポロジカル不変量の幾何学的およびトポロジカルな起源を明確にすること。

提案手法

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• スピン多様体上のクリフォード代数およびスピンォルバンドルを用いて、ディラック作用素およびツイスター作用素を定義する。
• ホロノミー分類を適用し、平行およびキリングスピンォルを許容する多様体を特徴付ける。
• スピンォル双一次形を経由して得られるキリング＝ヤノ形式およびコンフォーマルキリング＝ヤノ形式から、対称性作用素を構成する。
• クリフォード代数の「チェス盤」構造と実および複素ディラック作用素に対するアティヤ＝シンガーのインデックス定理を用いて、トポロジカルな絶縁体の周期的表を導出する。
• スピンォル双一次形およびポテンシャル形式を用いて、ツイスター・スピンォルから調和スピンォルを生成し、セイバーグ＝ウィッテン理論と結びつける。
• 超重力のキリングスピンォルおよびその双一次形を検討し、超重力背景における可能ないくつかのリー代数構造を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 .
• RQ2 ツイスターおよびキリングスピンォルのスピンォル双一次形は、KYおよびCKY形式のような隠れた対称性をどのように生成するか？
• RQ3 ディラック作用素のインデックスとトポロジカルな絶縁体の分類を結びつける、正確な幾何学的およびトポロジカルなメカニズムは何か？
• RQ4 KY/CKY形式から構成された対称性作用素は、超対称理論における超代数をどのように拡張するか？
• RQ5 ツイスター・スピンォルから導かれる調和スピンォルは、セイバーグ＝ウィッテン方程式の解法において果たす役割は何か？
• RQ6 クリフォード代数の「チェス盤」構造は、実および複素クラスの両方において、どのようにトポロジカル相の周期的表を生じさせるか？

主な発見

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• トポロジカルな絶縁体および超伝導体の周期的表は、クリフォード代数の「チェス盤」構造と実ディラック作用素のインデックスから導出され、インデックスはZ、Z2、またはdim(Hk(mod 2))の値を取る。
• 実クリフォードバンドル Cl∗k 上のディラック作用素 ̸Dk のインデックスは、k ≡ 0 (mod 8) のとき bA(M)、k ≡ 4 (mod 8) のとき 1/2 bA(M)、それぞれ k ≡ 1,2 (mod 8) のとき dimCHk(mod 2) または dimHHk(mod 2) に等しい。
• 球体バンドルの K−(s−n)(mod 8)R(pt) の K理論群は、実クラスの周期的表と正確に一致し、安定なベクトルバンドルの同型類がZおよびZ2不変量を生じる。
• スピンの上昇および下降作用素が、さまざまなスピンの質量ゼロ場に対して構成され、高スピンゲージ理論の文脈におけるラライト＝シュプリンガー場の詳細な解析がなされている。
• ポテンシャル形式を用いることで、ツイスター・スピンォルから調和スピンォルを体系的に得ることができ、セイバーグ＝ウィッテン方程式の解法のための手法が提供される。
• 超重力のキリングスピンォルの分類は、そのスピンォル双一次形から候補となるリー代数構造を導き、超対称背景におけるより深い代数的構造の可能性を示唆する。