[論文レビュー] Spin models and boson sampling

Borja Peropadre, Alán Aspuru‐Guzik+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、長距離XYスピン相互作用を有するスピン模型の短時間量子時間発展とボソンサンプリングの間で直接的な等価性を確立し、このようなスピン系のシミュレーションがボソンサンプリング問題を解くのと同程度の難易度であることを示している。このマッピングにより、小規模な量子シミュレータおよび量子コンピュータ上でボソンサンプリングを効率的に実装可能となり、後選別とノルムの境界を用いた誤差解析が可能となり、変動距離解析によって問題の計算複雑性が裏付けられる。

ABSTRACT

In this work we proof that boson sampling with $N$ particles in $M$ modes is equivalent to short-time evolution with $N$ excitations in an XY model of $2N$ spins. This mapping is efficient whenever the boson bunching probability is small, and errors can be efficiently postselected. This mapping opens the door to boson sampling with quantum simulators or general purpose quantum computers, and highlights the complexity of time-evolution with critical spin models, even for very short times.

研究の動機と目的

• 長距離XY相互作用を有するスピンハミルトニアンの時間発展とボソンサンプリングの間の計算的同等性を確立すること。
• 近位の量子シミュレータおよび小規模な量子コンピュータ上でボソンサンプリングの効率的かつ誤差制御可能な実装を可能にすること。
• 演算子ノルムと変動距離を用いてマッピングの誤差を解析し、希釈条件（N ≪ M）と関連付けること。
• 現実的な物理的制約のもとでも、ボソンサンプリングの複雑性がスピン模型に保たれるかどうかを示すこと。
• 2準位系（キュービット）を用いたユニタリ行列による結合を通じて、直接的な線形光学系を避けるボソンサンプリングの物理的実装を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアン H = ∑_{i,j} σ⁺_{out,j} R_{ji} σ⁻_{in,i} + H.c. を提案し、R をハーモニック・ランダムなユニタリ行列とし、線形光学回路をモデル化する。
• MモードにN光子を持つ入力フォック状態を、N個の励起状態を持つ入力スピン状態にマッピングする。
• このハミルトニアンに従って時間発展させたとき、t = π/2 でボソンサンプリング波動関数が位相を除き再現され、誤差項を除いて一致することを示す。
• 各サイトに高々1つの励起状態を持つフォック状態に射影するための射影 Q を用い、望ましい出力分布を分離する。
• 出力分布間の全変動距離を、状態差分 δ = ψ - φ の2ノルムを用いて誤差解析する。
• ランダム行列理論と数値シミュレーションを用い、平均的な演算子ノルム ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ がハーモニック採択のもとで ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ ∝ O(√N) と推定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離XYスピン相互作用を有するスピン系を用いてボソンサンプリングを物理的に実現可能か？
• RQ2 ボソンサンプリングの複雑性と多数体スピン模型の時間発展との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 スピン模型へのマッピングにおける誤差は系のサイズにどのように依存し、境界を定められるか？
• RQ4 現実的な条件下でもスピン模型がボソンサンプリングの計算的困難性を保つのか？
• RQ5 スピン模型とボソンサンプリングの出力分布間の変動距離を定量的に境界づけられるか？

主な発見

• 長距離XY相互作用を有するスピン模型ハミルトニアン H はボソンサンプリングと計算的に同等であり、両問題とも#P困難である。
• t = π/2 におけるスピン系の時間発展は、励起状態の凝集に起因する誤差を除き、ボソンサンプリング波動関数を位相を除いて再現する。
• スピン模型とボソンサンプリングの出力分布間の全変動距離は O(N² / √M) で境界づけられ、M ≫ N² のときには消える。
• 数値シミュレーションにより、演算子ノルム ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ が O(√N) のスケーリングを示し、効率的サンプリングに必要なMを M ∼ O(N³) に改善することが確認された。
• 励起数Nがモード数Mに比べてはるかに小さいとき（N ≪ M）、ボソンサンプリングが効率的である限り、マッピングは成功する。
• 2準位系とユニタリ結合を用いた物理的実装により、量子シミュレータ上でボソンサンプリングを実装する実現可能な道筋が得られ、誤差補正を組み込む可能性もある。