[論文レビュー] Spin Representations of the q-Poincare Algebra

Christian Blohmann|ArXiv.org|Oct 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$q$-ローレンツ対称性と$q$-ミンコフスキー空間を用いて、$q$-ポincare代数の非可約スピン表現を構成し、$q$-パウリ＝ルバンスキー・ベクトルおよび$q$-スピン・カシミール作用素を導出する。また、$q$-ディラック方程式および$q$-マクスウェル方程式を、非可約表現を抽出する唯一の波動方程式として確立し、非可換時空間における$q$-変換による一貫性のある量子場理論フレームワークを提供する。

ABSTRACT

The spin of particles on a non-commutative geometry is investigated within the framework of the representation theory of the q-deformed Poincare algebra. An overview of the q-Lorentz algebra is given, including its representation theory with explicit formulas for the q-Clebsch-Gordan coefficients. The vectorial form of the q-Lorentz algebra (Wess), the quantum double form (Woronowicz), and the dual of the q-Lorentz group (Majid) are shown to be essentially isomorphic. The construction of q-Minkowski space and the q-Poincare algebra is reviewed. The q-Euclidean sub-algebra, generated by rotations and translations, is studied in detail. The results allow for the construction of the q-Pauli-Lubanski vector, which, in turn, is used to determine the q-spin Casimir and the q-little algebras for both the massive and the massless case. Irreducible spin representations of the q-Poincare algebra are constructed in an angular momentum basis, accessible to physical interpretation. It is shown how representations can be constructed, alternatively, by the method of induction. Reducible representations by q-Lorentz spinor wave functions are considered. Wave equations on these spaces are found, demanding that the spaces of solutions reproduce the irreducible representations. As generic examples the q-Dirac equation and the q-Maxwell equations are computed explicitly and their uniqueness is shown.

研究の動機と目的

• 非可換時空間の枠組み内で、$q$-ポincare代数の非可約スピン表現を構成すること。
• $q$-パウリ＝ルバンスキー・ベクトルを用いて、スピン質量のある粒子および質量のない粒子のための$q$-スピン・カシミール作用素および$q$-ミニマリティ代数を特定すること。
• $q$-ローレンツスピノル表現の可約性を解消する唯一の波動方程式として、具体的に$q$-ディラック方程式および$q$-マクスウェル方程式を導出すること。
• $q$-変換対称性と多粒子フォック空間の構成（対称化または反対称化による）との整合性を保証することで、$q$-ミンコフスキー空間上での一貫性のある量子場理論を確立すること。

提案手法

• Wessのベクトル形式、Woronowiczの量子双対、Majidの$q$-ローレンツ群の双対という3つの等価な形で$q$-ローレンツ代数を用い、それらの同型性を示す。
• $q$-ローレンツ代数と$q$-ユークリッド部分代数から、$q$-ミンコフスキー空間と$q$-ポincare代数を構成する。
• $q$-クリーブシュ＝ゴルダン係数を明示的に導出し、テンソル積表現を構築し、非可約スピン状態を射影する。
• $q$-パウリ＝ルバンスキー・ベクトルを用いて、スピン質量のある粒子および質量のない粒子の両方について、$q$-スピン・カシミール作用素および$q$-ミニマリティ代数を計算する。
• 可約表現に含まれる余分な自由度を除去する制約として、$q$-ディラック方程式および$q$-マクスウェル方程式を導出する。
• $\mathcal{U}_q(\mathrm{sl}_2)$の$\mathcal{R}$-行列から導かれる$L$-行列を用いて、ブースト生成子を定義し、スピノル波動関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に解釈可能な角運動量基底において、$q$-ポincare代数の非可約スピン表現をどのように構成できるか？
• RQ2 $q$-パウリ＝ルバンスキー・ベクトルの構造は何か？ そして、それがどのように$q$-スピン・カシミール作用素および$q$-ミニマリティ代数を導くか？
• RQ3 $q$-ディラック方程式および$q$-マクスウェル方程式は、可約$q$-ローレンツスピノル場から非可約表現を抽出する唯一の波動方程式としてどのように一意に導出できるか？
• RQ4 $q$-変換対称性は、対称化または反対称化による多粒子状態のフォック空間構成と、どの程度整合性を保っているか？
• RQ5 $q$-クリーブシュ＝ゴルダン係数および$q$-ローレンツ代数の$\mathcal{R}$-行列は、代数の異なる実現法間で一貫性を保証するか？

主な発見

• $q$-ローレンツ代数が、Wessのベクトル形式、Woronowiczの量子双対、Majidの$q$-ローレンツ群の双対という3つの異なる定式化において同型であることが示された。
• $q$-パウリ＝ルバンスキー・ベクトルが構成され、スピン質量のある粒子および質量のない粒子の両方について、$q$-スピン・カシミール作用素および$q$-ミニマリティ代数が導出された。
• $q$-ディラック方程式および$q$-マクスウェル方程式が明示的に導出され、可約$q$-ローレンツスピノル波動関数から非可約スピン表現を再現する唯一の制約であることが示された。
• $q$-クリーブシュ＝ゴルダン係数が明示的に計算され、テンソル積表現の構築および可約表現の分解が可能になった。
• $\mathcal{U}_q(\mathrm{sl}_2)$の$\mathcal{R}$-行列から導かれる$L$-行列$L_{+}^{1/2}$、$L_{-}^{1/2}$、$L_{+}^{1}$、$L_{-}^{1}$が導出され、ブースト生成子およびスピノル表現の基底を提供した。
• ブースト生成子は$B^{a}{}_{c} = (L_{-}^{1/2})^{a}{}_{b} \otimes (L_{+}^{1/2})^{b}{}_{c}$として表され、$q$-変換ローレンツ変換をスピノル基底で記述する行列形式を備えた。