[論文レビュー] Spin spaces, Lipschitz groups, and spinor bundles

Thomas Friedrich, Andrzej Trautman|ArXiv.org|Jan 29, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上の複素スピン bundle と、スピン空間のリプシッツ群への正規直交フレーム bundle の還元として定義される特殊構造「lpin 構造」との対応関係を確立する。偶数次元では、この構造は pin^c 構造に還元され、奇数次元では、そのような bundle の存在が可縮性と多様体上の位相的条件に依存しており、両ケースについて明示的な構成と例が提示されている。

ABSTRACT

It is shown that every bundle $\varSigma o M$ of complex spinor modules over the Clifford bundle $\Cl(g)$ of a Riemannian space $(M,g)$ with local model $(V,h)$ is associated with an lpin ("Lipschitz") structure on $M$, this being a reduction of the ${\Ort}(h)$-bundle of all orthonormal frames on M to the Lipschitz group $\Lpin(h)$ of all automorphisms of a suitably defined spin space. An explicit construction is given of the total space of the $\Lpin(h)$-bundle defining such a structure. If the dimension m of M is even, then the Lipschitz group coincides with the complex Clifford group and the lpin structure can be reduced to a pin$^{c}$ structure. If m=2n-1, then a spinor module $\varSigma$ on M is of the Cartan type: its fibres are 2^n-dimensional and decomposable at every point of M, but the homomorphism of bundles of algebras $\Cl(g) o\End\varSigma$ globally decomposes if, and only if, M is orientable. Examples of such bundles are given. The topological condition for the existence of an lpin structure on an odd-dimensional Riemannian manifold is derived and illustrated by the example of a manifold admitting such a structure, but no pin^c structure.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の複素スピン bundle と、いわゆる「lpin 構造」と呼ばれる幾何的構造との間の幾何的対応関係を確立すること。
• lpin(h) に由来するリプシッツ群 bundle の全空間を定義し、構成すること。
• lpin 構造と偶数次元および奇数次元における pin^c 構造との関係を明確にすること。
• 奇数次元多様体上での lpin 構造の存在に必要な位相的条件を同定すること。
• スピン bundle 及びそのグローバル分解性の明示的例を提示すること。

提案手法

• 著者らは、クリフォード代数作用を備えた複素ベクトル空間としてスピン空間を定義し、クリフォードモジュール構造を保存する可逆元のなす群として関連するリプシッツ群を構成する。
• すべての複素スピンモジュール bundle Σ → M が、クリフォード bundle Cl(g) 上に存在するとき、正規直交フレーム bundle がリプシッツ群 Lpin(h) に還元されることを示す。
• Lpin(h)-bundle の全空間は、フレーム bundle と Lpin(h) のスピン空間への作用に基づく関連 bundle の構成により明示的に構成される。
• 偶数次元では、リプシッツ群は複素クリフォード群と一致し、pin^c 構造への還元が可能である。
• 奇数次元多様体 (m = 2n−1) に対して、クリフォード代数準同型 Cl(g) → End(Σ) のグローバル分解を分析し、それがかつて M が可縮であるときに限り成立することを示す。
• 特性類を用いて、lpin 構造の存在に関する位相的障害を導出し、lpin 構造は持つが pin^c 構造を持たない多様体の反例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の複素スピン bundle を、フレーム bundle 上の幾何的構造と体系的に関連付ける方法は何か？
• RQ2 スピン bundle の構造群としてのリプシッツ群の正確な性質は何か？また、正規直交フレーム bundle とはどのように関係するか？
• RQ3 奇数次元リーマン多様体上での lpin 構造の存在条件は何か？また、pin^c 構造の存在とはどのように異なるか？
• RQ4 なぜ奇数次元では、クリフォード代数準同型 Cl(g) → End(Σ) が、多様体が可縮であるときに限りグローバルに分解するのか？
• RQ5 lpin 構造は持つが pin^c 構造を持たない多様体が存在しうるか？その場合、それらの位相的性質は何か？

主な発見

• 任意のリーマン多様体 (M,g) 上の複素スピンモジュール bundle Σ → M は、正規直交フレーム bundle がリプシッツ群 Lpin(h) に還元されることによって生じる。これにより、このような bundle と lpin 構造との間には一対一対応関係が確立される。
• 偶数次元では、リプシッツ群は複素クリフォード群と一致し、lpin 構造は pin^c 構造に還元される。
• 次元 m = 2n−1 の奇数次元多様体に対して、スピンモジュール Σ は 2^n 次元であり、かつて M が可縮であるときに限りグローバルに分解する。
• 奇数次元リーマン多様体上での lpin 構造の存在に必要な位相的条件が導出され、それは第1ステイフェル＝ブライトン類とスピン bundle の構造を含む。
• 3次元多様体の明示的例が構成され、lpin 構造は持つが pin^c 構造は持たないことが示され、奇数次元では lpin 構造が pin^c 構造よりも厳密に一般化されていることが実証された。
• 本稿では Lpin(h)-bundle の全空間の完全な構成が提供され、関連 bundle 理論を用いてスピンモジュールを分類する方法が示された。