[論文レビュー] Spin, Statistics and Charge of Solitons in (2+1)-Dimensional Theories

Victor M. Yakovenko|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 1997

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元量子場理論におけるソリトン（スカイリオン）のスピン、統計、電荷について、位相的不変量としての表現を導出する。非アーベルゲージ場 $\nabla \times \vec{B} = \vec{P}$ を持つ平均場モデルにおけるフェルミオン自由度の機能的積分を用いて、スカイリオンが奇数電荷の半整数スピンフェルミオンまたは偶数電荷の整数スピンボソンであることが示され、アンドリュースのスピンオンやホールンとの同定は排除される。

ABSTRACT

General topologically invariant microscopical expressions for quantum numbers of particle-like solitons ("skyrmions") are derived for a class of (2+1)D models. Skyrmions are either half-integer spin fermions with odd electric charge or integer spin bosons with even charge. So they cannot be Anderson's spinons or holons. General results are exemplified by a square lattice model reminiscenting high-Tc models.

研究の動機と目的

• (2+1)次元場理論における粒子的ソリトン（スカイリオン）のスピン、統計、電荷に関する一般的な微視的表現を導出すること。
• そのようなモデルにおけるスカイリオンが、アンドリュースが提案したスピンオン（$\hbar/2$ スピンの中性フェルミオン）やホールン（電荷 $e$ のスピンなしボソン）の量子数を実現できるかを調査すること。
• 非一様な $\vec{n}$-場を伴う平均場モデルにおいて、位相的不変量がソリトンの量子数をどのように決定するかを検討すること。
• スキーム的周期性を持つ格子モデルを構築し、非自明なスカイリオンの量子数を実現し、$t_2$、$M_\alpha$、$J$ などのモデルパラメータに依存する性質を分析すること。

提案手法

• 電子が静的な $\vec{n}$-場にスピン依存のグリーン関数 $\tilde{G}^{-1} = G_0^{-1} + \vec{\sigma} \cdot \vec{n} G_1^{-1}$ で結合する (2+1)D 有効作用を定式化し、$\vec{n}$ は単位ベクトル場である。
• フェルミオン場 $\psi$ に対する機能的積分を実行し、有効作用 $S_{\text{eff}}(\vec{n})$ を得る。これには、$S_1 \propto \varepsilon_{\mu\nu\lambda} \int B_\mu P_{\nu\lambda} d^3r$ のようなチェーン＝シモンズ項が含まれる。
• スピンが $S = C_1 \hbar / 2$ として与えられる位相的不変量 $C_1 = N(G)$ を定義する。積分 $N(G) = \frac{\varepsilon_{\mu\nu\lambda}}{24\pi^2} \int d^3k \, \text{Tr} \left[ G \partial_\mu G^{-1} G \partial_\nu G^{-1} G \partial_\lambda G^{-1} \right]$ を用いる。
• 電磁ゲージ場 $A_\mu$ を導入して電荷とホール電導度を計算し、$e^* = C_2 e$ および $\sigma_{xy} = C_3 e^2 / h$ を得る。ここで $C_2 = N(G_\uparrow) - N(G_\downarrow)$、$C_3 = C_1$ である。
• スキーム的周期性を持つ正方格子モデルにこの形式を適用し、スタガードヘッジング（$t_2$）、スピン依存のサイトエネルギー（$M_\alpha$）、スピン電流項（$J$）を含める。$G_\alpha(\vec{k}) = i\omega + \vec{\tau} \cdot \vec{w}(k_x,k_y)$ である。
• 位相的不変量 $N(G_\alpha)$ を用いてスカイリオンの量子数を分類する：$|2t_2| > |M\_\alpha|$ のとき $N(G_\alpha) = \text{sign}(t_2)$、それ以外は 0 である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (2+1)次元モデルにおける $\vec{n}$-場を伴うソリトンのスピン、統計、電荷の一般的位相的表現は何か？
• RQ2 (2+1)D システムにおけるスカイリオンは、アンドリュースのスピンオン（$\hbar/2$ スピンの中性フェルミオン）やホールン（電荷 $e$ のスピンなしボソン）の量子数を実現できるか？
• RQ3 スキーム的周期性とスピン依存ヘッジングを有する正方格子モデルの微視的パラメータに依存して、スカイリオンの量子数はどのように変化するか？
• RQ4 位相的不変量 $N(G)$ はスカイリオンのスピンと統計を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 スカイリオンのホール電導度と電荷は、フェルミオンが $\vec{n}$-場に応答する性質からどのように生じるか？

主な発見

• (2+1)D モデルにおけるスカイリオンは、位相的不変量 $C_1 = N(G_\uparrow) + N(G_\downarrow)$ の偶奇性により、奇数電荷の半整数スピンフェルミオンまたは偶数電荷の整数スピンボソンである。
• スピンオンは中性フェルミオンで $\hbar/2$ スピンを要するが、ホールンはスピンなしボソンで電荷 $e$ を持つ必要があるが、スカイリオンはボソン的である場合には常に偶数電荷、フェルミオン的である場合には奇数電荷を有するため、スピンオンやホールンとは同定できない。
• $M_\uparrow > |M_\downarrow|$ かつ $|2t_2| > |M_\uparrow|$ の領域では、スカイリオンはスピン $\hbar$ の中性ボソンである。
• $|M_\downarrow| < |2t_2| < |M_\uparrow|$ の領域では、スカイリオンはスピン $\hbar/2$、電荷 $e$ のフェルミオンである。
• $|2t_2| < |M_\downarrow|$ かつ $M_\alpha = 0$ のとき、スカイリオンはスピン 0 の中性ボソンである。
• $M_\alpha = 0$ で $J$ がスピンアップ・ダウンで符号が反対のとき、スカイリオンはスピンなしボソンで電荷 $2e$ を持ち、$\vec{n}$-場はスピン電流を偏極する。