[論文レビュー] Spin structures and codimension-two homeomorphism extensions

Fan Ding, Yi Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間におけるcodimension-two埋め込みによって誘導されるスピン構造——これはトポロジカル不変量である——が、多様体の写像類が周囲空間へ拡張可能かどうかを制限することを確立する。方向を保つ微分同相写像がℝ^{p+2}へ拡張可能であるならば、それらは誘導されたスピン構造を保存することを示すことにより、拡張可能な写像類部分群の指数に対する非自明な下界が得られる。主要な結果は、ℝ⁴内の輪状の曲面およびℝ^{p+2}内の特定のトーラスに対して、これらの下界が厳密に達成され、それぞれ指数がちょうど2^{2g−1} + 2^{g−1}および2^p − 1に等しいことである。

ABSTRACT

Let $\imath: M o \RR^{p+2}$ be a smooth embedding from a connected, oriented, closed $p$-dimesional smooth manifold to $\RR^{p+2}$, then there is a spin structure $\imath^\sharp(ς^{p+2})$ on $M$ canonically induced from the embedding. If an orientation-preserving diffeomorphism $τ$ of $M$ extends over $\imath$ as an orientation-preserving topological homeomorphism of $\RR^{p+2}$, then $τ$ preserves the induced spin structure. Let $\esg_\cat(\imath)$ be the subgroup of the $\cat$-mapping class group $\mcg_\cat(M)$ consisting of elements whose representatives extend over $\RR^{p+2}$ as orientation-preserving $\cat$-homeomorphisms, where $\cat= opo$, $\pl$ or $\diff$. The invariance of $\imath^\sharp(ς^{p+2})$ gives nontrivial lower bounds to $[\mcg_\cat(M):\esg_\cat(\imath)]$ in various special cases. We apply this to embedded surfaces in $\RR^4$ and embedded $p$-dimensional tori in $\RR^{p+2}$. In particular, in these cases the index lower bounds for $\esg_ opo(\imath)$ are achieved for unknotted embeddings.

研究の動機と目的

• 閉じた、向き付け可能で滑らかなp次元多様体の写像類が、周囲空間ℝ^{p+2}における同相写像としてどのように拡張可能かを理解すること。
• このような拡張を妨げるトポロジカル不変量を同定すること。
• 全写像類群における拡張可能な写像類部分群の指数を計算または評価すること。
• 輪状の埋め込みに対して、導かれた指数の下界が厳密に達成されることを示すこと。

提案手法

• 滑らかな埋め込み𝝳: M → ℝ^{p+2}による、ℝ^{p+2}上の標準的スピン構造の引き戻しによって、p次元多様体M上に自然なスピン構造を定義する。
• ℝ^{p+2}上へのトポロジカル同相写像としてMの方向を保つ微分同相写像が拡張可能であるならば、M上に誘導されたスピン構造を保存することを証明する。
• 誘導されたスピン構造がℝ^{p+2}内に存在するSeifert超曲面のスピン構造の境界であるという事実を用いて、そのトポロジカル不変性を分析する。
• スピン構造の不変性を応用し、C = Top, PL, Diffに対して、[MCG_C(M) : 𝔈_C(𝝳)]の指数に対する下界を導出する。
• 特にTorelli群およびモジュライ群の構造を含む、曲面およびトーラスの写像類群に関する既知の結果を適用して、指数を計算または評価する。
• 輪状の埋め込みに対して、下界が達成されることを示す。これには、Hiroseの構成およびスピンコボルディズムとRokhlinの定理に関する結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた、向き付け可能で滑らかなp次元多様体の写像類のうち、周囲空間ℝ^{p+2}における向きを保つ同相写像としてどのように拡張可能か？
• RQ2 codimension-two埋め込みによって誘導される多様体上のスピン構造は、微分同相写像の拡張を妨げるのにどのように利用できるか？
• RQ3 ℝ⁴内の輪状の曲面およびℝ^{p+2}内のトーラスに対する、輪状の埋め込みにおける拡張可能な写像類部分群の正確な指数は何か？
• RQ4 スピン構造の不変性から導かれた下界は、特定の埋め込みに対して正確な値として達成可能か？
• RQ5 埋め込みの選択（例：輪状 vs. 空間的絡み目）は、写像類の拡張可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の滑らかな埋め込みにより、 genus-g の曲面F_g がℝ⁴に埋め込まれるとき、[MCG_Top(F_g) : 𝔈_Top(𝝳)] の指数は少なくとも2^{2g−1} + 2^{g−1}以上である。
• この下界は、ℝ⁴内に輪状に埋め込まれたF_gに対して厳密に達成され、この場合の指数は正確に2^{2g−1} + 2^{g−1}に等しい。
• 任意の滑らかな埋め込みにより、p次元トーラスT^p がℝ^{p+2}に埋め込まれ、非Lie群由来のスピン構造を誘導するとき、[MCG_Top(T^p) : 𝔈_Top(𝝳)] の指数は少なくとも2^p − 1以上である。
• この境界は、ℝ^{p+2}内に輪状に埋め込まれたT^pに対して達成され、したがって指数は正確に2^p − 1に等しい。
• 輪状の埋め込みから誘導されるT^p上のスピン構造は、決してLie群スピン構造ではない。これは下界を成立させる上で重要である。
• p ≤ 3 に対して、C = Diff, PL, または Top に対して、[MCG_C(T^p) : 𝔈_C(𝝳)] の指数は正確に2^p − 1であり、すべてのpに対して有限である。