[論文レビュー] Spin symmetry breaking in the translation-invariant Hartree-Fock electron gas

David Gontier, Mathieu Lewin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次元のクーロン相互作用において、零温度における翻訳不変 Hartree-Fock 電子系でスピン対称性の破れを厳密に証明し、低密度では強磁性相から高密度では常磁性相への一次相転移を示している。正の温度では、数値計算により、強磁性相と常磁性相が一次または二次相転移によって分離された強磁性領域が得られ、高温または高密度における解の一意性と常磁性が厳密に証明されている。

ABSTRACT

We study the breaking of spin symmetry for the nonlinear Hartree-Fock model describing an infinite translation-invariant interacting quantum gas (fluid phase). At zero temperature and for the Coulomb interaction in three space dimensions, we can prove the existence of a unique first order transition between a pure ferromagnetic phase at low density and a paramagnetic phase at high density. Multiple first or second order transitions can happen for other interaction potentials, as we illustrate on some examples. At positive temperature $T>0$ we compute numerically the phase diagram in the Coulomb case. We find the paramagnetic phase at high temperature or high density and a region where the system is ferromagnetic. We prove that the equilibrium state is unique and paramagnetic at high temperature or high density.

研究の動機と目的

• 翻訳不変 Hartree-Fock モデルにおいて、零温度で強磁性相と常磁性相の間の一次相転移が存在することを厳密に確立すること。
• 一般の相互作用ポテンシャルに対して Hartree-Fock モデルにおけるスピン対称性の破れの役割を分析し、ポテンシャルに応じて複数の相転移が生じ得ることを示すこと。
• 3次元クーロン相互作用における正の温度での相図を数値的手法を用いて計算・分析すること。
• 固定化学ポテンシャルにおける解の非一意性にもかかわらず、高温または高密度における平衡状態の一意性と常磁性を厳密に証明すること。
• 特に密度汎関数理論に関連する均一電子系（UEG）の文脈において、量子フェルミガスの平均場挙動を理解するための数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 翻訳不変フェルミオン1粒子密度行列をフーリエ空間における行列値関数 γ(k) で表し、Hartree-Fock モデルを最小化問題として定式化すること。
• 制約条件として、点ごとの 0 ≤ γ(k) ≤ I₂ および ∫tr[γ(k)]dk = (2π)^d ρ を課し、パウリの禁則則と正しい密度を保証すること。
• 化学ポテンシャル μ と交換項を含む非線形積分方程式に問題を還元し、凹型の交換項と凸型のエントロピー項の競合を扱うこと。
• 移動平面法と反射対称性の議論を用いて、解 g とポテンシャル V の回転対称性と単調減少性を証明し、径方向減少性を確立すること。
• 変分法と不動点解析を用いて、固定 μ における解の非一意性を示し、これがスピン対称性の破れの本質的要因であることを明らかにすること。
• 3次元クーロン系における T > 0 の相図を、フーリエ空間における非線形系の反復解法を用いて数値計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 翻訳不変電子系の Hartree-Fock モデルにおいて、3次元のクーロン相互作用下で、零温度における強磁性秩序から常磁性秩序への一次相転移が生じるか？
• RQ2 クーロン以外の相互作用ポテンシャルに対してもスピン対称性の破れが生じ得るか？その場合、一次または二次相転移のどのようなタイプが生じ得るか？
• RQ3 正の温度における相図の構造はどのようなものか？強磁性秩序と常磁性秩序の領域は、温度と密度にどのように依存するか？
• RQ4 固定化学ポテンシャルにおける平衡状態が一意でないのはなぜか？この非一意性がどのようにスピン対称性の破れを引き起こすのか？
• RQ5 どのような条件下で、平衡状態が一意的かつ常磁性的であると厳密に証明できるか？

主な発見

• 3次元のクーロン相互作用において、零温度で強磁性相（すべてのスピンが整列）から常磁性相（スピンが相関なし）への一次相転移が厳密に証明された。
• 解の境界と対称性の議論を用いて、高温または高密度における平衡状態が一意的かつ常磁性的であることが厳密に確立された。
• T > 0 における相図の数値計算により、強磁性秩序領域が一次または二次相転移によって常磁性相と分離されていることが明らかになった。
• 固定化学ポテンシャルにおける解の非一意性は、凹型の交換項と凸型のエントロピー項の競合に起因し、これがスピン対称性の破れの根本的メカニズムである。
• 移動平面法を用いて、解 γ(k) と関連するポテンシャル V が径方向的かつ単調減少であることが証明され、密度行列と平均場ポテンシャルの対称性と単調性が確立された。
• 非径対称な相互作用では、V と g が径対称でない場合、反射対称性の下で矛盾が生じるため、解が必ず径方向的かつ単調減少でなければならないことが証明された。