[論文レビュー] Spinning particles in a Yang-Mills field

Simon Hochgerner|ArXiv.org|Feb 3, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多様体の余接 bundle に proper なリー群作用が働く場合、特に配置空間が単一の軌道型であるとき、余接軌道レベルでのシンプレクティック商を構成するための最小結合枠組みを開発する。この枠組みにより、還元された位相空間がより小さい余接 bundle、Weyl 群作用下での余接軌道のゼロにおけるシンプレクティック商を含むものと同型であることを示し、接続を用いた計算的に有効な方法を提供する。応用としては、階層的ハミルトニアン系およびヤン・ミルズ場中のスピン粒子の解析に適している。

ABSTRACT

Suppose that a Lie group $G$ acts properly on a configuration manifold $Q$. We study the symplectic quotient of $T^*Q$ with respect to the cotangent lifted $G$-action at an arbitrary coadjoint orbit level $\mathcal{O}$. In particular, if $Q=Q_{(H)}$ is of single orbit type we show that the symplectic quotient of $T^*Q$ at $\mathcal{O}$ can be constructed through a minimal coupling procedure involving the smaller cotangent bundle $T^*Q_H$, the symplectic quotient of $\mathcal{O}$ at 0 with respect to the $H$-action, and the diagonal Hamiltonian $N(H)/H$-action on these symplectic spaces. A prescribed connection on $Q_H o Q_H/(N(H)/H)$ then yields a computationally effective way of explicitly realizing the symplectic structure on each stratum of the symplectic quotient of $T^*Q$. In an example this result is combined with the projection method to produce a stratified Hamiltonian system with very well hidden symmetries.

研究の動機と目的

• 配置多様体上の非自由な群作用へのシンプレクティック還元の軌道 bundle 図像の一般化を図ること。
• 配置空間 $ Q $ が単一の軌道型で、作用が proper であるが必ずしも自由でない場合、$ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $ の幾何的構造を解明すること。
• 主 bundle 接続を用いて、還元位相空間の各ストラトムにおけるシンプレクティック構造を明示的かつ計算的に有効に構成すること。
• 特にヤン・ミルズ場およびスピン粒子の文脈において、この構成がハミルトニアン系における隠れた対称性を明らかにできることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、運動量写像 $ \mu: T^*Q \to \mathfrak{g}^* $ を用いた特異的シンプレクティック還元を用い、余接軌道 $ \mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^* $ における還元に注目する。
• 還元空間を $ (T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H) \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 W $ として構成し、ここで $ W = N(H)/H $ である。これは、Weyl 群がゼロにおける余接軌道のシンプレクティック商に作用することを活用する。
• 主 bundle $ Q_H \to Q_H/W $ 上の所与の接続により、各ストラトムにおけるシンプレクティック構造を明示的に実現する最小結合手続きが可能になる。
• この方法は、特に $ G = \mathrm{SO}(4) $、$ H_0 = \mathrm{U}(1) $、$ W_0 = \mathbb{Z}_2 $ の場合に、隠れた対称性を持つ階層的ハミルトニアン系を生成する投影法を適用する。
• 還元ハミルトニアンは $ \mathcal{H}_0 = \frac{1}{2}\|p_0\|^2 + V(q_0, X) $ として導出され、ここで $ V(q_0, X) $ は行列 $ K[X]_\sim $ を通じて計量および磁場に依存する。
• 正則ストラトムにおけるシンプレクティック構造は最小結合形式で記述され、力学は荷電粒子が磁場中に置かれた場合の調和振動子的運動およびローレンツ型方程式を含むことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用が proper だが非自由で、かつ $ Q $ が単一の軌道型である場合、シンプレクティック商 $ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $ をどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 Weyl 群 $ W = N(H)/H $ は、余接軌道 $ \mathcal{O} $ における $ T^*Q $ のシンプレクティック還元において果たす役割は何か？また、還元位相空間にどのように作用するか？
• RQ3 主 bundle $ Q_H \to Q_H/W $ 上の接続は、シンプレクティック構造を計算的にアクセス可能にする最小結合構成をどのように可能にするか？
• RQ4 得られた還元系は、特にヤン・ミルズ場中のスピン粒子の文脈において、ハミルトニアン系の隠れた対称性を明らかにできるか？
• RQ5 非退化な磁場結合の下で、還元位相空間の異なるストラトムにどのような力学的挙動が現れるか？

主な発見

• シンプレクティック商 $ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $ は、シンプレクティック商 $ (T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H) \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 W $ と同型であり、還元位相空間の幾何的分解を提供する。
• 還元空間の滑らかなシンプレクティックストラトムは、$ T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H $ 上の誘導された $ W $-作用を通じて計算可能であり、各ストラトムにおけるシンプレクティック構造の明示的構成が可能になる。
• $ z \neq 0 $ である正則ストラトムでは、還元ハミルトニアンは行列 $ K[X]_\sim $ の固有値によって定まる周波数を持つ調和振動子を記述しており、閉じ込められた荷電粒子の運動における内部自由度を示している。
• $ (x,y,z) = (0,0,\pm s) $ である特異ストラトムでは、有効電荷 $ \pm s $ を持つローレンツ方程式に還元され、磁場 $ 2\nu $ の下で一定の測地線曲率 $ \pm 2s $ を持つ小円上を運動する。
• 境界 $ B_0 \sqcup B_1 $ において反射的挙動を示し、解はスネルの法則に従う。これは、磁場への最小結合による荷電粒子の屈折を示している。
• 正則ストラトムにおける最小結合形式 (6.D) はシンプレクティック構造を明示的に実現しており、還元系は $ T^*B_0 $ 上の自由ハミルトニアン系と $ \mathbb{Z}_2 $-ゲージ電荷 $ \pm s $ の結合に等価である。これにより、力学における隠れた対称性が明らかになる。