[論文レビュー] Spinor construction of the c = 1/2 minimal model

Alex J. Feingold, John F. X. Ries+1 more|ArXiv.org|Jan 24, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、クリフォード代数のスピンル表現を用いて、c = 1/2 最小モデルの conformal field theory を構成し、頂点演算子代数のフェルミオン的実現を提供する。超幾何級数を用いて相関関数を明示的に計算することで、完全な相互作用演算子と結合則が得られ、構造がスピンルモジュールおよびそのねじれた対応物によって完全に決定されることを示している。

ABSTRACT

The usual spinor construction from one fermion yields four irreducible representations of the Virasoro algebra with central charge $c = 1/2$. The Neveu-Schwarz (NS) sector is the direct sum of an $h = 0$ and an $h = 1/2$ module, and the Ramond (R) sector is the direct sum of two copies of an $h = 1/16$ module. In addition to the fundamental fermions, which represent a Clifford algebra, and the Virasoro operators, there are infinitely many other vertex operators, in one-to-one correspondence with the vectors (states) in the NS sector. These give the NS sector the structure of a Vertex Operator SuperAlgebra, and the R sector the structure of a ${\bold Z}_2$-twisted module for that VOSA. Keeping both copies of the $h = 1/16$ modules in the R sector, we can define intertwining operators in one-to-one correspondence with the states in the R sector such that the usual Ising fusion rules for just three modules are replaced by a rule given by the group ${\bold Z}_4$. The main objective is to find a generalization of the VOSA Jacobi-Cauchy identity which is satisfied by these intertwining operators. There are several novel features of this new ``Matrix'' Jacobi-Cauchy Identity (MJCI), most of which come from the fact that correlation functions made from two intertwiners are hypergeometric functions. In order to relate and rationalize the correlation functions we use the Kummer quadratic transformation formulas, lifting the functions to a four-sheeted covering, branched over the usual three poles, where the Cauchy residue theorem can be applied. The six possible poles on the cover give six terms in the MJCI. Furthermore, we organize those functions into $2 imes 4$ matrices and find the $2 imes 2$ (fusion and braiding) matrices which relate them at the six poles. These results for intertwiners

研究の動機と目的

• 単一のフェルミオンからなるクリフォード代数のスピンル表現を用いて、c = 1/2 最小モデルの厳密なフェルミオン的構成を提供すること。
• 非自明な結合則を持つ状況における相互作用演算子のラベル付け問題を、明示的なモジュールおよびそのねじれた対応物の構成によって解決すること。
• 3つ以上の場を含む相関関数を計算し、それらが超幾何級数による解をもつ微分方程式を満たすことを示すこと。
• スピンルに基づく頂点演算子スーパ algebra を用いて、c = 1/2 理論の完全な結合則および相互作用演算子構造を導出すること。
• c = 1/2 最小モデルが単一のフェルミオンからスピンル構成を経て自然に生じることを示し、従来のボソン的およびフェルミオン的実現を拡張すること。

提案手法

• クリフォード代数とそのスピンル表現を用いて、単一のフェルミオンから構築された頂点演算子スーパ algebra (VOSA) 構造を利用する。
• スピンル表現から不変モジュールおよびねじれたモジュールを構成し、それらをネベウ・シュワルツ (Neveu-Schwarz) およびラムド (Ramond) セクターとして特定する。
• 頂点演算子代数およびそのモジュールの形式的枠組みを用いて、これらのモジュール間の相互作用演算子を定義する。
• 3点相関関数を $ z_2/z_1 $ のべき級数として計算し、$ z_1 $ および $ z_2 $ の有理数乗を因数分解し、それが超幾何微分方程式を満たすことを示す。
• 相互作用演算子の一般化されたジャコビ恒等式を適用し、異なる領域における相関関数の異なる級数展開を関連付ける。
• スピンルモジュールの構造を用いて、結合則および相互作用演算子空間の次元を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c = 1/2 最小モデルは、クリフォード代数のスピンル表現を用いてどのように構成できるか？
• RQ2 c = 1/2 理論の不変モジュール間の相互作用演算子の構造は何か？
• RQ3 3つ以上の場を含む相関関数はどのように振る舞い、どのような微分方程式を満たすか？
• RQ4 c = 1/2 最小モデルの完全な結合則は何か？ そして、それらはスピンルモジュール構造とどのように関係するか？
• RQ5 このフェルミオン的構成において、相互作用演算子の一般化されたジャコビ恒等式を明示的に実現できるか？

主な発見

• c = 1/2 最小モデルは、単一のフェルミオン代数のスピンル表現から構築された頂点演算子スーパ algebra (VOSA) として実現される。
• 理論には4つの不変モジュールがある：2つのネベウ・シュワルツ (NS) セクターと2つのラムド (R) セクターで、それぞれの conformal weight は $ h = 0, 1/16, 1/2, 9/16 $ および $ h = 1/16, 9/16 $ である。
• 結合則は、すべての許容される三つ組に対して $ ilde{N}(M_1, M_2, M_3) = 1 $ であり、各結合チャネルにおける相互作用演算子空間が1次元であることを示している。
• 3場を含む相関関数は、$ z_2/z_1 $ における超幾何級数として表現され、特定の有理数乗を因数分解した形をとり、2階微分方程式を満たす。
• 相互作用演算子はスピンルモジュール構造を用いて明示的に構成され、非自明な結合則を持つ状況におけるラベル付け問題が解決された。
• 完全なコンフォーマルブロックの集合はスピンル表現によって決定され、構造定数は相関関数を介して計算され、モデルの整合性が確認された。