[論文レビュー] Spinorial Snyder and Yang Models From Superalgebras And Noncommutative Quantum Superspaces

J. Lukierski, Mariusz Woronowicz|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、スパーサル代数を用いて、スンダーとヤンの非可換（NC）相対論的量子時空および位相空間モデルを超対称的設定へと拡張する。$\widehat{su^\star}(4,2)$ や $\widehat{su^\star}(4)$ などのスパーサル代数にスンダー化手続きを適用することで、ローレンツ共変な量子超対称時空（SUSY スンダー・モデル）と量子位相超対称空間（SUSY ヤン・モデル）が構成され、スピンorialな超電荷が基本的な量子変形フェルミオン変数として現れる。主な貢献は、内在的なスピノル構造とホップ代数的コモジュール構造を持つ、体系的な代数的構成によるNC量子超対称時空の確立である。

ABSTRACT

The relativistic Lorentz-covariant quantum space-times obtained by Snyder can be described by the coset generators of (anti) de-Sitter algebras. Similarly, the Lorentz-covariant quantum phase spaces introduced by Yang, which contain additionally quantum curved fourmomenta and quantum-deformed relativistic Heisenberg algebra, can be defined by suitably chosen coset generators of conformal algebras. We extend such algebraic construction to the respective superalgebras, which provide quantum Lorentz-covariant superspaces (SUSY Snyder model) and indicate also how to obtain the quantum relativistic phase superspaces (SUSY Yang model). In last Section we recall briefly other ways of deriving quantum phase (super)spaces and we compare the spinorial Snyder type models defining bosonic or fermionic quantum-deformed spinors.

研究の動機と目的

• スンダーとヤンによって元々定式化された非可換（NC）量子時空および位相空間を、超対称的フレームワークへと拡張すること。
• ボソン的部分代数が $\u005Cwidehat{o}(4,1)$, $\u005Cwidehat{o}(3,2)$, $\u005Cwidehat{o}(5,1)$, $\u005Cwidehat{o}(4,2)$ に同型である超代数のコセット生成子を用いて、ローレンツ共変な量子超対称時空（SUSY スンダー・モデル）を構成すること。
• 量子ヘイゼンベルク代数の変形を共形的超代数に埋め込むことで、量子変形相対論的位相超対称空間（SUSY ヤン・モデル）を導出すること。
• 単純な超代数におけるフェルミオン的超電荷が自然に、普遍包絡代数の基本的生成子としての量子変形スピノルを形成し、その代数的基盤を提供すること。

提案手法

• スンダー化手続きを用いる：超代数 $\u005Cwidehat{g} = \u005Cwidehat{k} \oplus \u005Cwidehat{h}$ を対称対に分解し、$\u005Cwidehat{k}$ が量子（超）時空座標を生成する。
• Lie超代数 $\u005Cwidehat{su^\star}(4,2)$ や $\u005Cwidehat{su^\star}(4)$ にコセット構成 $G/H$ を適用し、$H$ を共変性代数、$\u005Cwidehat{k}$ を量子時空生成セクターとする。
• 順序付き交換関係 $[\cdot, \cdot\}$ を用いて超代数の関係を定義し、得られる量子（超）代数のジャコビ恒等式および結合則を保証する。
• ウィールのテクニックを用いて、$SU(4;2N)$ 超代数を $SU^\star(4;2N)$ に変換し、複素共役と位相回転により $\u005Cwidehat{o}(5,1)$ および $\u005Cwidehat{o}(4,2)$ を構成可能にする。
• 超電荷 $z^a_\alpha, u^b_\beta$ をスンダー化して量子スピノル $\chi^a_\alpha, \rho^b_\beta$ を得る。これらはスピンorial被覆群の下で変換する。
• クaternion的シミプティック・メジャナ条件を課すことにより、自由度を削減し、スピンォルセクターの物理的整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子時空および位相空間のスンダーとヤン・モデルを、スパーサル代数を用いて超対称的設定へとどのように拡張できるか？
• RQ2 単純なリ代数的超代数における超電荷が、量子変形スピンorial座標を生成する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 得られた量子超対称時空が、基礎となるLie超代数からどのように代数的およびコモジュール的構造を継承するか？
• RQ4 量子変形ヘイゼンベルク代数を、ローレンツ共変性とジャコビ恒等式を保つ形で超対称化することは可能か？
• RQ5 dSおよびAdS超代数の局所的ゲージ化が、超重力におけるゴースト場の出現に与える影響は何か？

主な発見

• SUSY スンダー・モデルは $\u005Cwidehat{su^\star}(4,2)$ のコセット生成子を用いて構成され、$\u005Cwidehat{o}(3,1)$ ローレンツ共変性を有するD=4量子dS超対称時空と、量子変形スピノルをもたらす。
• SUSY ヤン・モデルは $\u005Cwidehat{su^\star}(4,2)$ から、量子変形ヘイゼンベルク代数を埋め込むことで導出され、$\u005Cwidehat{x}^\mu$ および $\u005Cwidehat{p}^\mu$ が非可換位相空間演算子として現れる。
• 単純な超代数 $\u005Cwidehat{su^\star}(4,2)$ のフェルミオン的超電荷は、普遍包絡代数の主生成子として機能し、量子超対称時空の代数的基盤を形成する。
• 量子超対称時空は、基礎となるホップ超代数から、結合則（ジャコビ恒等式による）およびコモジュール的構造（原始的コプロダクトによる）を継承する。
• 四元数的スピノルをシンプレクティック・メジャナ条件によって用いることで、独立な自由度が削減され、物理的スピノル表現と整合性が保たれる。
• 超代数 $\u005Cwidehat{su^\star}(4;2)$ の局所的ゲージ化は、ゴースト場を伴うD=5 dS超重力へと導く。これは、ゴーストを回避するための自発的対称性破れの必要性を示唆する。