[論文レビュー] Spinors and Space-Time Anisotropy

Sergiu I. Vacaru, P. C. Stavrinos|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 36

ひとこと要約

この紀行は、スピンル束、非線形接続、および特別な（d-）接続を用いて、非等方的時空における重力およびゲージ理論の幾何的枠組みを展開する。スピンルに適合するd-接続を導入し、適応基底におけるねじれおよび曲率テンソルを導出するとともに、一般化されたフィンスラー型幾何におけるテンソル形式とスピンル形式の等価性を確立し、非等方的重力および場の理論への応用を示す。

ABSTRACT

This is the first monograph on the geometry of anisotropic spinor spaces and its applications in modern physics. The main subjects are the theory of gravity and matter fields in spaces provided with off--diagonal metrics and associated anholonomic frames and nonlinear connection structures, the algebra and geometry of distinguished anisotropic Clifford and spinor spaces, their extension to spaces of higher order anisotropy and the geometry of gravity and gauge theories with anisotropic spinor variables. The book summarizes the authors' results and can be also considered as a pedagogical survey on the mentioned subjects.

研究の動機と目的

• 非対角的計量および非可積分（非斉次）基底を持つ時空における重力および物質場の整合的な幾何的形式主義の構築。
• 非線形接続構造を有する非等方的空間へのクラッファードおよびスピンル幾何の拡張により、重力のスピンル形式の実現。
• d-接続および非線形接続を用いて、非等方的（方向依存の）幾何的構造を含むアインシュタイン理論の一般化。
• 一般化された計量バンドルにおける曲率およびねじれのテンソル形式とスピンル形式の等価性の確立。
• 高次の非等方的幾何におけるゲージ理論および重力の基礎を提供、スピンル変数を用いた形式主義を構築。

提案手法

• 非線形（N-）接続および適応（非可積分）基底を備えたベクトルおよび余ベクトルバンドルに基づく形式主義。
• 非線形接続構造を保存し、計量適合性を許容する特別な（d-）接続の導入。
• 適応基底を用いた接続のねじれおよび曲率テンソルを、接続接続およびスピンルバンドルで導出。
• D-接続によるスピンルねじれおよび曲率係数の明示的計算を行い、非線形接続のスピンル曲率と関連づける。
• 適応基底（δ/δxμ, ∂/∂θA, ∂/∂θ̄A′）を用いて幾何的対象を水平成分および垂直成分に分解。
• N-接続係数およびその微分を用いた曲率およびねじれ係数の明示的表現を通じて、テンソルとスピンルの等価性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対角的計量を有する非等方的時空において、スピンル構造を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非線形接続および非可積分基底が、重力およびゲージ理論の定式化において果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 スピンルバンドルにおけるねじれおよび曲率テンソルは、その背後にある非線形接続構造とどのように関係するか？
• RQ4 D-接続が非等方的スピンル空間においてねじれなし（ゼロねじれ）であるための条件は何か？
• RQ5 d-接続および非線形接続の形式主義を用いて、非等方的幾何におけるアインシュタイン方程式およびヤン・ミルズ理論を一般化できるか？

主な発見

• スピンルねじれ係数は、N-接続係数およびその微分によって完全に決定され、T^A_νμ = −R^A_μν および T^A′_νμ = −V^A′_μν が成り立つ。
• D-接続がゼロねじれであるための必要十分条件は、導出式（15.33）のすべての成分が消えることである。これにより、ねじれなしの幾何的基準が得られる。
• D-接続の曲率係数は、N-接続曲率項（R^A_μν, V^A′_μν）およびスピンル接続係数（C^k_Aλ など）で表される。
• スピンルバンドルにおける曲率テンソル成分は明示的に計算され、N-接続係数の微分およびスピンル接続項に依存することが示された。
• この形式主義により、完全なテンソル-スピンル等価性が確立された：スピンルバンドル内のすべての幾何的不変量（ねじれ、曲率）は、基礎となるd-接続および非線形接続構造で表現可能である。
• この枠組みは、非等方的重力およびゲージ理論の定式化を支援し、重力場はスピンルバンドルにおける計量テンソルのスピンル形式で記述可能である。