[論文レビュー] Splice Graphs and Their Topological Indices

Reza Sharafdini, İvan Gutman|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、互いに非連結なグラフから2つの頂点を同一視して得られるスプライスグラフにおける、5つのトポロジカル指標—Szeged、エッジ-Szeged、バーテックス-PI、エッジ-PI、およびエクスセントリック接続性—の正確な公式を導出する。この手法は構造的分解と距離に基づく分割を活用し、元のグラフからの指標と、エッジおよび頂点数、および遠心度に依存する補正項を組み合わせた閉形式の式を得る。

ABSTRACT

Let $G_1=(V_1,E_1)$ and $G_2=(V_2,E_2)$ be two graphs with disjoint vertex sets $V_1$ and $V_2$. Let $u_1 \in V_1$ and $u_2 \in V_2$. A splice of $G_1$ and $G_2$ by vertices $u_1$ and $u_2$, $\mathcal{S}(G_1,G_2;u_1,u_2)$, is defined by identifying the vertices $u_1$ and $u_2$ in the union of $G_1$ and $G_2$. In this paper we calculate the Szeged, edge-Szeged, $PI$, vertex-$PI$ and eccentric connectivity indices of splice graphs.

研究の動機と目的

• 互いに非連結なグラフから2つの頂点を同一視して得られるスプライスグラフのSzeged、エッジ-Szeged、バーテックス-PI、エッジ-PI、およびエクスセントリック接続性指標を計算すること。
• 特定の種類の合成グラフにおけるトポロジカル指標の既存の結果を拡張し、これらの指標に対して閉形式の式を提供すること。
• 中心頂点が2つの部分グラフを接続する構造を持つグラフにおけるトポロジカル指標の計算を体系的に行う方法を確立すること。これは化学的グラフ理論において関連性がある。
• 各部分グラフおよび接続頂点が全体の指標値に与える寄与を明確にし、構造記述子の関係を正確に予測可能にする。

提案手法

• スプライスグラフ 𝒮(G₁,G₂;u₁,u₂) を、2つの非連結グラフ G₁ と G₂ のうち頂点 u₁ と u₂ が1つの頂点に同一視されたものとして定義する。
• 距離に基づく分割を導入する：各辺 e=xy に対して、u に対して v よりも近い頂点の集合 N(e,u,G) と、u に対して v よりも近い辺の集合 M(e,u,G) を定義する。
• トポロジカル指標の標準的定義を用いる：Szeged（nᵤ(e)nᵥ(e) の和）、エッジ-Szeged（mᵤ(e)mᵥ(e) の和）、バーテックス-PI（nᵤ(e)+nᵥ(e) の和）、エッジ-PI（mᵤ(e)+mᵥ(e) の和）、エクスセントリック接続性（deg(u)·ε(u) の和）。
• 指標計算を、G₁ 内の辺、G₂ 内の辺、およびスプライス頂点をまたぐ辺からの寄与に分解する。
• 相手側のグラフのサイズに依存する補正項を導出する：G₁ 内の辺に対しては |E₂|、G₂ 内の辺に対しては |E₁|、頂点寄与に対しては |V₂| または |V₁| を用いる。
• 頂点 x ∈ V₁ に対して ε(x) = max{d_G₁(x,u₁)+ε₂(u₂), ε₁(x)} であり、同様に x ∈ V₂ に対しても適用可能であるという遠心度の公式を用いて、エクスセントリック接続性指標を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのグラフが1つの頂点でスプライスされるとき、Szeged およびエッジ-Szeged 指標はどのように変化するか？
• RQ2 スプライスグラフにおけるバーテックス-PI およびエッジ-PI 指標に、各部分グラフおよび接続頂点がどのように寄与するか？
• RQ3 スプライスグラフ内の頂点の遠心度は、元の部分グラフ内での位置と接続頂点の遠心度にどのように依存するか？
• RQ4 スプライスグラフのトポロジカル指標は、元のグラフからの指標の和に補正項を加えた形で表現可能か？
• RQ5 スプライスグラフにおける5つのトポロジカル指標の正確な公式は何か？また、エッジ数・頂点数・遠心度といった構造的パラメータにどのように依存するか？

主な発見

• スプライスグラフのSzeged指標は、Sz(𝒮) = Sz(G₁) + Sz(G₂) で与えられ、補正項は存在しない。これは各部分グラフ内でエッジ分割が変化しないためである。
• エッジ-Szeged指標は、Szₑ(𝒮) = Szₑ(G₁) + Szₑ(G₂) + |E₂|∑_{f∈E₁} m¹(f) + |E₁|∑_{f∈E₂} m²(f) を満たし、補正項は一方の部分グラフ内の辺が他方の部分グラフに対してどのように影響するかを反映している。
• バーテックス-PI指標は、PIᵥ(𝒮) = PIᵥ(G₁) + PIᵥ(G₂) + (t₂+1)|V₁| + (t₁+1)|V₂| で与えられ、ここで tᵢ は Gᵢ の両端点が接続頂点に対して等距離にある辺の数である。
• エッジ-PI指標は、PI(𝒮) = PI(G₁) + PI(G₂) + t₂|E₁| + t₁|E₂| で与えられ、補正項はそのような等距離辺の数に比例する。
• エクスセントリック接続性指標は、Ecc(𝒮) = Σ_{x∈V₁} deg𝒮(x)·max{d_G₁(x,u₁)+ε₂(u₂), ε₁(x)} + Σ_{y∈V₂} deg𝒮(y)·max{d_G₂(y,u₂)+ε₁(u₁), ε₂(y)} で与えられる。
• すべての指標は部分グラフに加法的であり、補正項は相手側の成分のサイズおよび遠心度構造に依存するため、基本的なグラフ不変量から正確に計算可能である。