[論文レビュー] Split Domination, Independence, and Irredundance in Graphs

Stephen T. Hedetniemi, Fiona Knoll+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフの連結性と支配理論を組み合わせることで、分割支配、分割独立、分割非冗長性を導入し、それらを分析する。支配数 γₛ(G) や分割独立数 iₛ(G) といった新たなパラメータを定義し、古典的支配不等式鎖に類似した分割支配鎖を確立し、頂点連結性 k(G) がすべての分割パラメータの下界であることを証明する。主な貢献は、これらの分割バージョンの形式化と分析であり、パス、サイクル、完全二部グラフに対して正確な値が導出されている。

ABSTRACT

In 1978, Kulli and Janakiram \citep{KulliJanakiramSplit} defined the split dominating set: a dominating set $S$ of vertices in a graph $G = (V, E)$ is called {\em split dominating} if the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$. In this paper we introduce the properties split independence and split irredundance. A set $S$ of vertices in a graph $G =(V,E)$ is called a {\em split independent set} if $S$ is independent and the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$. A set $S$ of vertices in a graph $G = (V,E)$ is called a {\em split irredundant set} if for $u \in S$, $u$ has a private neighbor with respect to $V(S)$ and the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$.

研究の動機と目的

• 古典的支配理論の拡張として、分割独立と分割非冗長性の概念を形式化し、研究すること。
• 特に頂点連結性 k(G) が支配関連パラメータに与える影響を調査すること。
• 古典的支配鎖に類似した、分割パラメータ用の新しい不等式鎖を確立すること。
• パス、サイクル、完全二部グラフなどの特定のグラフ族における分割パラメータの正確な値と境界を導出すること。
• 分割版と非分割版の支配、独立、非冗長性の関係を調査すること。

提案手法

• 分割独立集合の概念を導入する：独立集合 S であって、V⧵S に誘導される部分グラフが非連結または単一の頂点であるもの。
• 分割非冗長集合を、各頂点がプライベートネイバーを持ち、かつ V⧵S が非連結または自明なグラフを誘導する集合として定義する。
• 新たなグラフパラメータを提案する：分割支配数 γₛ(G)、分割独立数 iₛ(G)、分割非冗長数 irₛ(G) およびそれらの上界版。
• 分割支配不等式鎖を確立する：irₛ(G) ≤ γₛ(G) ≤ iₛ(G) ≤ βₛ(G) ≤ Γₛ(G) ≤ IRₛ(G) であり、これは古典的支配鎖に類似している。
• 標準的なグラフ族（パス、サイクル、ワインズ、完全二部グラフ）に対して構造的グラフ解析とケースバイケース評価を用い、正確な値を計算する。
• 頂点連結性 k(G) がすべての分割パラメータの下界であることを証明する：k(G) ≤ irₛ(G)、k(G) ≤ γₛ(G)、k(G) ≤ iₛ(G)。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフにおける分割独立集合の構造的性質およびパラメータ的性質は何か？
• RQ2 分割非冗長集合は標準的非冗長集合とどのように異なり、その極値的パラメータは何か？
• RQ3 古典的支配不等式鎖の分割版を確立できるか？その構造は何か？
• RQ4 パスやサイクルなどの標準的グラフ族における分割支配、独立、非冗長パラメータの正確な値は何か？
• RQ5 分割パラメータは非分割パラメータおよび古典的支配パラメータとどのように関係しているか？

主な発見

• 分割支配数 γₛ(G) は、γ(G) ≤ γₛ(G) および k(G) ≤ γₛ(G) を満たし、n 頂点のグラフでは γₛ(G) ≤ n·Δ(G)/(Δ(G)+1) が成り立つ。
• パス Pₙ に対しては、irₛ(G) = γₛ(G) = iₛ(G) = ⌈n/3⌉ かつ βₛ(G) = Γₛ(G) = IRₛ(G) = ⌈n/2⌉ である。
• サイクル Cₙ に対しては、irₛ(G) = γₛ(G) = iₛ(G) = ⌈n/3⌉ かつ βₛ(G) = Γₛ(G) = IRₛ(G) = ⌊n/2⌋ である。
• 頂点連結性 k(G) はすべての分割パラメータの下界である：k(G) ≤ irₛ(G)、k(G) ≤ γₛ(G)、k(G) ≤ iₛ(G)。
• 完全二部グラフ Kₘ,ₙ（2 ≤ m ≤ n）に対しては、iₙₛ(Kₘ,ₙ) = m−1 かつ βₙₛ(Kₘ,ₙ) = n−1 である。
• ワインズ Wₙ に対しては、γₙₛ(Wₙ) = 1 かつ iₙₛ(Wₙ) = 1 であり、IRₙₛ(Wₙ) = IR(Cₙ) である。これはサイクル成分に強く依存する構造的性質を示している。