[論文レビュー] Split Property and Fermionic String Order

Taku Matsui|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、CAR代数を用いて1次元フェルミオン系におけるギャップのある基底状態の分裂性質を確立し、ジョルダン＝ヴァイナー変換を用いてフェルミオン的ストリングオーダーの数学的基盤を明確にする。基底状態の${\bf Z}_2$インデックスがストリングオーダーの有無を決定することを証明する：インデックス$+1$はストリングオーダーなし、純粋なパウリスピン基底状態を意味し、インデックス$-1$はストリングオーダーを伴い、非純粋でdegenerateな基底状態を意味する。これは位相的不変量と長距離量子相関を結びつける。

ABSTRACT

We show split property of gapped ground states for Fermion systems on a one-dimensional lattice and clarify mathematical meaning of string order of fermions.

研究の動機と目的

• 1次元フェルミオン系のギャップのある基底状態の分裂性質を、CAR代数によって確立すること。
• 準1次元フェルミオン系におけるストリングオーダーの数学的意味を明確化すること。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換を通じて、基底状態の${\bf Z}_2$インデックスとストリングオーダーの有無を結びつけること。
• 分裂性質が無限次元の補助空間を持つ行列積状態表現を示唆することを示すこと。

提案手法

• 分離可能なヒルベルト空間$K$上に自己双対なCAR代数の枠組み内で分析が行われ、$J$を共役ユニタリ自己同型とする。$K_L \oplus K_R$として左・右部分空間に分解される。
• 分裂性質は、$\mathfrak{A}$と自動同型$\Theta_-$を実装するユニタリ$T$によって生成される交叉積$\hat{\mathfrak{A}} = \mathfrak{A} \rtimes {\bf Z}_2$を介して研究される。
• ${\bf Z}_2$-gradedな積状態$\psi_L \otimes_{{\bf Z}_2} \psi_R$が、左・右の部分系間の統計的独立性をモデル化するために構成される。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換によりフェルミオン系がスピン系に写像され、スピン表現におけるストリングオーダーの分析が可能になる。
• ${\bf Z}_2$インデックス$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = \pm 1$が、基底状態の分類に用いられる：$+1$は長距離秩序なしの純粋状態、$-1$はストリングオーダーを伴う非純粋状態を意味する。
• スペクトル解析とGNS表現を用いて、スピン基底状態$\psi^P$の非純粋性が長距離ストリングオーダーの存在を示唆することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAR代数によって記述される1次元フェルミオン系のギャップのある基底状態において、分裂性質はどのように現れるか？
• RQ2 フェルミオン的基底状態の${\bf Z}_2$インデックスとストリングオーダーの有無との間の明確な数学的関係は何か？
• RQ3 ジョルダン＝ヴァイナー変換は分裂性質を保存するか。また、長距離量子相関とはどのように関係するか？
• RQ4 ストリングオーダーの有無・無しは、対応するパウリスピン基底状態の純粋性によって特徴づけられるか？
• RQ5 ${\bf Z}_2$のグラーディングと自動同型$\Theta_-$は、代数の構造とトポロジカルオーダーの出現にどのように影響するか？

主な発見

• 1次元格子上のフェルミオン系のギャップのある基底状態に対して、分裂性質が成立し、無限次元の補助空間を持つ行列積状態表現を示唆する。
• ${\bf Z}_2$インデックス$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = +1$は、長距離秩序なし、スピン表現でもストリングオーダーなしの純粋でギャップのある基底状態に対応する。
• ${\bf Z}_2$インデックス$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$は、非純粋な基底状態を意味し、スピン系におけるストリングオーダーの存在を示唆する。
• ストリングオーダーは、局所的奇数演算子$Q_1, Q_2 \in \mathfrak{A}^{P(-)}_{\text{loc}}$に対して、$\lim_{k\to\infty} \psi^P(Q_1 \tau_k(Q_2)) \neq 0$という非ゼロ極限として数学的に特徴づけられる。
• 逆に、ストリングオーダーが存在するならば、$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$であり、スピン基底状態$\psi^P$は非純粋である。
• 分裂性質により、左部分系代数の可換束が型Iであることが保証され、$\Theta$-不変性のもとで保存される。これにより、インデックスのトポロジカル性が裏付けられる。