[論文レビュー] Split Quaternionic Analysis and Separation of the Series for SL(2,R) and SL(2,C)/SL(2,R)

Igor Frenkel, Matvei Libine|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンpaktoな実形式への一般化を含む、四元数解析を分割四元数代数 ℝℍ に拡張する。Cayley 変換を用いて SL(2,ℝ) と虚数 Lobachevski 空間 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) を関連づけ、分割四元数のコーシー＝フイーターおよびポアソン積分公式を用いて SL(2,ℝ) の離散的・連続的系列表現の分離を解決する。質量ゼロの特異関数が 4次元 QFT においてこれらの系列への射影子であることが明らかになり、ℝℍ 上のポアソン型積分を用いて SL(2,ℝ) の新しいプランシュレ測度の公式が導出される。

ABSTRACT

We extend our previous study of quaternionic analysis based on representation theory to the case of split quaternions H_R. The special role of the unit sphere in the classical quaternions H identified with the group SU(2) is now played by the group SL(2,R) realized by the unit quaternions in H_R. As in the previous work, we use an analogue of the Cayley transform to relate the analysis on SL(2,R) to the analysis on the imaginary Lobachevski space SL(2,C)/SL(2,R) identified with the one-sheeted hyperboloid in the Minkowski space M. We study the counterparts of Cauchy-Fueter and Poisson formulas on H_R and M and show that they solve the problem of separation of the discrete and continuous series. The continuous series component on H_R gives rise to the minimal representation of the conformal group SL(4,R), while the discrete series on M provides its K-types realized in a natural polynomial basis. We also obtain a surprising formula for the Plancherel measure on SL(2,R) in terms of the Poisson integral on the split quaternions H_R. Finally, we show that the massless singular functions of four-dimensional quantum field theory are nothing but the kernels of projectors onto the discrete and continuous series on the imaginary Lobachevski space SL(2,C)/SL(2,R). Our results once again reveal the central role of the Minkowski space in quaternionic and split quaternionic analysis as well as a deep connection between split quaternionic analysis and the four-dimensional quantum field theory.

研究の動機と目的

• 四元数解析をコンパクトな四元数 ℍ から非コンパクトな実形式への一般化する。
• 分割四元数の積分公式を用いて、SL(2,ℝ) の離散的・連続的ユニタリ系列表現の分離問題を解決する。
• Cayley 変換の類似を用いて、ℝℍ 上の単位双曲面と SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) の虚数 Lobachevski 空間との間の調和解析の対応関係を確立する。
• 分割四元数解析と SL(4,ℝ) の最小表現および合同群 SO(3,3) との関係を構築し、それらを 4次元量子場理論と関連づける。

提案手法

• 符号 (2,2) を持つ分割四元数代数 ℝℍ ≅ M(2,ℝ) を用い、SL(2,ℝ) を ℝℍ 内の単位双曲面として特定する。
• 虚数 Lobachevski 空間 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) を ℝℍ 内の単位双曲面へ写像する、Cayley 変換の類似を適用し、離散的・連続的系列成分を交換する。
• ℝℍ およびミンコフスキー空間 ℳ におけるコーシー＝フイーターおよびポアソン積分公式の類似形を導出し、系列の分離問題を解決する。
• ℳ および ℝℍ への調和拡張を用いて、SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) および SL(2,ℝ) 上の関数を実現し、表現論的解析を可能にする。
• ℳ 上の多項式基底を用いて、SL(4,ℝ) の最小表現の K-型を同定し、SU(1,1) の ℝℍ 上への作用を通じて実現する。
• ℝℍ 上のポアソン型積分を用いて、SL(2,ℝ) のプランシュレ測度の新しい公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四元数解析の理論をコンパクトな四元数 ℍ から分割四元数 ℝℍ にどのように拡張できるか？
• RQ2 ℝℍ およびミンコフスキー空間 ℳ におけるコーシー＝フイーターおよびポアソン公式は、SL(2,ℝ) の離散的・連続的系列の分離をどのように解決するか？
• RQ3 Cayley 変換は、ℝℍ 内の単位双曲面と ℳ 内の一本の双曲面との間で果たす役割は何か？
• RQ4 SL(4,ℝ) の最小表現およびその K-型は、ℳ 上の多項式基底を用いてどのように実現されるか？
• RQ5 4次元量子場理論における質量ゼロの特異関数と、SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上の離散的・連続的系列への射影子との関係は何か？
• RQ6 SL(2,ℝ) のプランシュレ測度は、ℝℍ 上のポアソン型積分で表現可能か？

主な発見

• 分割四元数のコーシー＝フイーターおよびポアソン公式は、SL(2,ℝ) の離散的・連続的系列表現の分離に成功している。
• ℝℍ 上の連続的系列成分は、合同群 SL(4,ℝ) の最小ユニタリ表現を生じる。
• 虚数 Lobachevski 空間 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上の離散的系列は、ミンコフスキー空間 ℳ 上の自然な多項式基底で実現される K-型を提供する。
• ℝℍ 上のポアソン型積分を用いて、SL(2,ℝ) のプランシュレ測度の新しい公式が導出された。
• 4次元量子場理論における質量ゼロの特異関数は、SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上の離散的・連続的系列への射影子のカーネルとして特定された。
• ミンコフスキー空間 ℳ は、合同群 SO(3,3) を通じて、分割四元数解析と 4次元量子場理論を統合する中心的役割を果たす。