[論文レビュー] Split rank of triangle and quadrilateral inequalities

Santanu S. Dey, Quentin Louveaux|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2行混合整数計画法緩和問題の凸包における facet-defining な三角形および四角形不等式のうち、Cook ら[15] によって以前に無限のスプリットランクを有することが示された特定のクラスを除き、すべてが有限のスプリットランクを持つことを確立している。著者らは、すべてのこのような有限スプリットランク不等式を生成する明示的かつ構成的なスプリット不等式の列を提供しており、混合整数計画法におけるカット平面理論における重要な問いを解決している。

ABSTRACT

A simple relaxation of two rows of a simplex tableau is a mixed integer set consisting of two equations with two free integer variables and non-negative continuous variables. Recently Andersen, Louveaux, Weismantel and Wolsey (2007) and Cornuejols and Margot (2008) showed that the facet-defining inequalities of this set are either split cuts or intersection cuts obtained from lattice-free triangles and quadrilaterals. Through a result by Cook, Kannan and Schrijver (1990), it is known that one particular class of facet-defining triangle inequality does not have a finite split rank. In this paper, we show that all other facet-defining triangle and quadrilateral inequalities have a finite split-rank. The proof is constructive and given a facet-defining triangle or quadrilateral inequality we present an explicit sequence of split inequalities that can be used to generate it.

研究の動機と目的

• 2行混合整数計画法緩和問題の凸包の facet-defining 不等式のうち、どの不等式が有限のスプリットランクを有するかを特定すること。
• すべての三角形および四角形不等式（既知の1つのクラスを除く）が繰り返しスプリットカットを適用することで生成可能かどうかという未解決の問いを解明すること。
• 有限スプリットランクを有するすべての facet-defining な三角形および四角形不等式を生成する、明示的かつ構成的なスプリット不等式の列を提供すること。

提案手法

• 著者らは、2つの自由整数変数と非負の連続変数からなる2行緩和集合 P(R,f) の凸包の構造を分析する。
• 既知の特徴付けを活用し、facet-defining 不等式がスプリットカットまたは格子自由な三角形・四角形からのインターセクションカットとして表現可能であることを用いる。
• 幾何学的・多面体的技術を用いてスプリットランクを分析し、問題を高々4つの連続変数をもつ集合に還元する。
• 各有限スプリットランクの facet-defining 不等式に対して、必要なスプリット不等式の列を生成するための構成的アルゴリズムを開発する。
• 不等式の幾何的サポートに基づいて異なるタイプに分類し、凸結合と頂点列挙を用いて妥当性およびタイトネスを検証する。
• Cook ら[15] が得た特定の三角不等式クラスの無限スプリットランクに関する結果を応用し、境界ケースを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 conv(P(R,f)) の facet-defining 不等式のうち、どの不等式が有限のスプリットランクを有するか？
• RQ2 すべての三角形および四角形不等式（既知の無限スプリットランククラスを除く）が、繰り返しスプリットカットを適用することで生成可能か？
• RQ3 有限スプリットランクを有する任意の facet-defining な三角形または四角形不等式を生成する有限のスプリット不等式列を構成的に提供可能か？
• RQ4 無限スプリットランクを有する1つの三角不等式クラスは、他のすべてのクラスとどのような幾何的・代数的性質で異なるか？
• RQ5 格子自由な三角形および四角形から導かれるインターセクションカットのスプリットランクを体系的に分析・上限付け可能か？

主な発見

• conv(P(R,f)) の facet-defining なすべての三角形および四角形不等式は、Cook ら[15] が特定した1つの特定の三角不等式クラスを除き、すべて有限のスプリットランクを有する。
• 有限スプリットランクを有するすべての facet-defining 不等式について、本稿ではその不等式を生成できる明示的かつ有限のスプリット不等式の列を構成している。
• 証明により、無限スプリットランクは特定の1つの三角不等式クラスに特有であり、それ以外のすべての不等式はスプリットカットによって有限に生成可能であることが示された。
• 解析により、格子自由な三角形および四角形から導かれるすべての不等式について、この例外クラスを除きスプリットランクが有限であることが確認された。
• 著者らは、幾何的分解と頂点解析を用いて、任意の有限スプリットランク不等式のスプリットランクが有界であり、構成的に計算可能であることを確立した。
• 本稿では、2行緩和問題におけるすべての facet-defining 不等式のスプリットランク挙動を完全に分類し、カット平面理論における長年の未解決問題を解決した。