[論文レビュー] Splitting Algebras II: The Cohomology Algebra

Brad Shelton|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限のランク付きposet $\Gamma$ に関連する付随するグレーディング分割代数 $A'_{\Gamma}$ のコホモロジーおよびコアルゲブラを計算し、それが順序複体 $\Delta(\Gamma_{b,q})$ の非還元コホモロジーと同型であることを示している。主な結果として、$A'_{\Gamma}$ がクォーティック（resp. クォズール）であるための必要十分条件が $\Gamma$ がコーン・マカウレイ（resp. 均一）であることであると示され、代数的位相の観点からposetの性質に対する新しいホモロジー的特徴づけが得られた。

ABSTRACT

Gelfand, Retakh, Serconek and Wilson, in \cite{GRSW}, defined a graded algebra $A_Γ$ attached to any finite ranked poset $Γ$ - a generalization of the universal algebra of pseudo-roots of noncommutative polynomials. This algebra has since come to be known as the splitting algebra of $Γ$. The splitting algebra has a secondary filtration related to the rank function on the poset and the associated graded algebra is denoted here by $A'_Γ$. We calculate the cohomology algebra (and coalgebra) of $A'_Γ$ explicitly. As a corollary to this calculation we have a proof that $A'_Γ$ is Koszul (respectively quadratic) if and only if $Γ$ is Cohen-Macaulay (respectively uniform). We show by example that the cohomology algebra (resp. coalgebra) of $A_Γ$ may be strictly smaller that the cohomology algebra (resp. coalgebra) of $A'_Γ$.

研究の動機と目的

• 有限のランク付きposet $\Gamma$ に対して、付随するグレーディング分割代数 $A'_{\Gamma}$ のコホモロジーおよびコアルゲブラを計算すること。
• $A'_{\Gamma}$ のクォズールおよびクォーティック性が $\Gamma$ のコーン・マカウレイ性および均一性と同値であるというホモロジー的特徴づけを確立すること。
• $A_{\Gamma}$ のコホモロジーが $A'_{\Gamma}$ のそれよりも厳密に小さいことがあることを示し、フィルトレーションが常にコホモロジー構造を保存しないことを示すこと。
• 分割代数に関する既知の結果を統一的かつ一般化し、posetの位相的不変量と関連付けること。

提案手法

• [3] からの標準的基底構成とスペクトル系列を用いて、$A'_{\Gamma}$ のコホモロジーを計算し、チェーン複体上でのホモトピーを定義可能にする。
• $\mathrm{Ext}^{p,q}_{A'_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ が、すべての $b \in \Gamma$ で $rk(b) \geq q$ を満たすものに対して、非還元コホモロジー $\tilde{H}^{p-2}(\Delta(\Gamma_{b,q}))$ と同型であることを示した。
• コアルゲブラ構造 $\mathrm{Tor}^{A'_{\Gamma}}_{p,q}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ も、同様に順序複体の非還元ホモロジー群の直和として表現された。
• 証明は [3] に由来する $A_{\Gamma}$ の標準的基底に依拠しており、これは数え上げの目的ではなく、チェーンホモトピーを定義するためのものである。
• 空複体の非還元コホモロジーに対する標準的規約： $\tilde{H}^{-1}(\Delta(\emptyset)) = \mathbb{F}$ であり、$n \neq -1$ のとき $\tilde{H}^n(\Delta(\emptyset)) = 0$ である。
• 反例を構成することで、$gr(\mathrm{Ext}_{A_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})) \neq \mathrm{Ext}_{A'_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ であることが示され、$A_{\Gamma}$ のコホモロジーが $A'_{\Gamma}$ のそれよりも厳密に小さいことがあることが証明された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限のランク付きposet $\Gamma$ に対して、付随するグレーディング分割代数 $A'_{\Gamma}$ のコホモロジー代数は何か？
• RQ2 $A_{\Gamma}$ のコホモロジーと $A'_{\Gamma}$ のコホモロジーはどのように比較できるか。また、どのような条件下でそれらは異なるか？
• RQ3 $A'_{\Gamma}$ のクォズールおよびクォーティック性は、コーン・マカウレイ性や均一性といった $\Gamma$ の位相的性質によって特徴づけられるか？
• RQ4 $A_{\Gamma}$ のホモロジー的不変量の中に、$\Gamma$ の順序複体の位相を捉えるものがあるか？

主な発見

• $\mathrm{Ext}^{p,q}_{A'_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ は、すべての $b \in \Gamma$ で $rk(b) \geq q$ を満たすものに対して、非還元コホモロジー群 $\tilde{H}^{p-2}(\Delta(\Gamma_{b,q}))$ の直和と同型である。
• コアルゲブラ $\mathrm{Tor}^{A'_{\Gamma}}_{p,q}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ は、同じ添字集合に対して、非還元ホモロジー群 $\tilde{H}_{p-2}(\Delta(\Gamma_{b,q}))$ の直和と同型である。
• $A'_{\Gamma}$ がクォーティックであるための必要十分条件は $\Gamma$ が均一であることであり、クォズールであるための必要十分条件は $\Gamma$ がコーン・マカウレイであることである。
• $gr(\mathrm{Ext}_{A_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})) \neq \mathrm{Ext}_{A'_{\Gamma}}(\mathbb{F},\mathbb{F})$ を満たす有限のランク付きposet $\Gamma$ が存在し、$A_{\Gamma}$ のコホモロジーが $A'_{\Gamma}$ のそれよりも厳密に小さいことがあることが証明された。
• コホモロジー計算の系として、$A_{\Gamma}$ のヒルベルト級数が回復され、[8] に示された結果の新しい証明が得られた。
• 本研究の結果により、[5] で示された $\Gamma$ がコーン・マカウレイであることと $R_{\Gamma}$ がクォズールであることの同値性が、$A'_{\Gamma}$ のコホモロジーと関連付けることで、新たな証明が得られた。