[論文レビュー] Splitting Parabolic Manifolds

Morris Kalka, Giorgio Patrizio|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$(k,l)$-splitting parabolic manifold—2つの滑らかで強いたる正則次形式関数 $u$ と $v$ を備えた複素多様体で、Monge-Ampère型の条件を満たすもの—の概念を導入し、全域的なトポロジー的仮定（閉じた葉）のもとで、このような多様体が $\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ にbiholomorphicに同値であることを証明する。主な結果は、正則的foliationとexhaustion関数を用いたbiholomorphismの構成により、Stollによる $\mathbb{C}^N$ のEuclidean空間の積としての特徴づけを一般化するものである。

ABSTRACT

We study the geometric properties of complex manifolds possessing a pair of plurisubharmonic functions satisfying Monge-Ampère type of condition. The results are applied to characterize complex manifolds biholomorphic to $\C^{N}$ viewed as a product of lower dimensional complex euclidean spaces.

研究の動機と目的

• 複素多様体 $M$ が $\mathbb{C}^N$ にbiholomorphicに同値であることを、幾何学的・解析的条件を用いて、低次元のEuclidean空間 $\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ の積として特徴づけること。
• $u$ と $v$ という2つの滑らかで正則次形式関数を満たす特定のMonge-Ampère型方程式を満たす $(k,l)$-splitting parabolic manifold を定義し、それらを研究すること。
• $u$ と $v$ によって誘導されるfoliationが正則的であり、それぞれの葉が $\mathbb{C}^k$ および $\mathbb{C}^l$ にbiholomorphicに同値であるような条件を確立すること。
• $\{u=0\}$ と $\{v=0\}$ の最小集合が複素解析的部分多様体であり、foliationの横断的断面をなすことを示すこと。
• 特別な葉のパラメトライゼーションと射影写像を用いて、splitting parabolic manifold と $\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ 間の全域的biholomorphismを構成すること。

提案手法

• 4つの公理に基づいて $(k,l)$-splitting parabolic manifold を定義する：滑らかな正則次形式関数 $u,v$、正のレベル集合上での $(dd^c \log u)^k$ と $(dd^c \log v)^l$ の消滅、$(dd^c u)^k \wedge (dd^c v)^l$ の正定性、$u+v$ がexhaustion関数であること。
• 複素Monge-Ampère foliation理論を用いて、$u$ や $v$ が葉上で定数となるように、$l$ 次元および $k$ 次元の部分多様体からなる正則的foliation $\mathcal{F}_u$ と $\mathcal{F}_v$ を構成する。
• foliation $\mathcal{F}_u$ と $\mathcal{F}_v$ の葉が閉じていると仮定し、これにより葉が無限に伸びる厳密に放物型多様体であり、したがって $\mathbb{C}^l$ および $\mathbb{C}^k$ にbiholomorphicに同値であることを示す。
• $L^u_0 = \{u=0\}$ および $L^v_0 = \{v=0\}$ にそれぞれ $\mathcal{F}_v$ と $\mathcal{F}_u$ の葉を交差させることで、射影写像 $\Pi^u: M \to L^u_0$ と $\Pi^v: M \to L^v_0$ を定義する。
• 特別な葉 $L^u_0$ と $L^v_0$ の逆パラメトライゼーションと射影写像を合成することで、$G: M \to \mathbb{C}^N$ なるbiholomorphic写像を構成し、望ましいbiholomorphismの全域的逆写像を得る。
• Stollの定理（厳密に放物型のexhaustion）を活用し、構成された写像のもとで、$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ 上の標準的ノルムの引き戻しと $u$ および $v$ が一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何学的・解析的条件下で、複素多様体 $M$ が $\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ にbiholomorphicに同値であると示せるか。
• RQ2 正のレベル集合上で $(dd^c \log u)^k$ と $(dd^c \log v)^l$ が消えるという性質が、$\mathbb{C}^N$ の積構造とどのように関係しているか。
• RQ3 Monge-Ampère foliation $\mathcal{F}_u$ と $\mathcal{F}_v$ の閉じた性質と正則性が、多様体 $M$ の全域的幾何を再構成する上で果たす役割は何か。
• RQ4 $\{u=0\}$ と $\{v=0\}$ の最小集合がfoliationの横断的断面をなし、全域的biholomorphismの構成を支える役割を果たすか。
• RQ5 結果が $\mathbb{B}^k(R_1) \times \mathbb{B}^l(R_2)$ のような有界領域に直接拡張できないのはなぜか。どのような構造的差異がこのような一般化を妨げているか。

主な発見

• $\mathcal{F}_u$ と $\mathcal{F}_v$ の葉が閉じている $(k,l)$-splitting parabolic manifold は、最小集合への射影と特別な葉のパラメトライゼーションを用いて構成された写像により、$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$ にbiholomorphicに同値である。
• $\mathcal{F}_u$ の各葉は $\mathbb{C}^l$ に、$\mathcal{F}_v$ の各葉は $\mathbb{C}^k$ にbiholomorphicに同値であり、閉じた葉の仮定のもとで両foliationは正則的である。
• $L^u_0 = \{u=0\}$ と $L^v_0 = \{v=0\}$ はそれぞれ次元 $l$ と $k$ の複素解析的部分多様体であり、それぞれの対応するfoliationの1つの葉である。
• $\mathcal{F}_u$ の各葉 $L$ に対して、$L \cap L^v_0 = \{O_L\}$ を満たす唯一の点 $O_L \in L^v_0$ が存在する。同様に $\mathcal{F}_v$ の葉が $L^u_0$ と交わる場合も同様。
• $\Pi^u$ と $\Pi^v$ の射影写像は正則的であり、構成された写像 $G: M \to \mathbb{C}^N$ はbiholomorphismであり、$u \circ G^{-1}(z,w) = \|z\|_k^2$ および $v \circ G^{-1}(z,w) = \|w\|_l^2$ を満たす。
• この結果により、$u+v$ は $M$ 上の厳密に放物型のexhaustion関数であり、$\left(dd^c(u+v) ight)^N = 0$ が $M \setminus \{\mathbf{O}\}$ で成り立つが、これは初期仮定から直接導けない。