[論文レビュー] Splitting the Dirac equation: the case of longitudinal potentials

Andrzej Okniński|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、縦方向の外部場におけるディラック方程式が、それぞれ組み込み型射影演算子を持つディラック方程式に類似した2つの共変な部分解に分解可能であることを示している。この分解により、$(x^0, x^3)$部分空間では2次元ディラック方程式が、$(x^1, x^2)$部分空間では2次元パウリ方程式が得られ、横方向場への結合に伴い有効質量が修正される。これにより、電場および磁場中での動的特性が修正された粒子・反粒子像が明らかになる。

ABSTRACT

Recently, we have demonstrated that some subsolutions of the free Duffin-Kemmer-Petiau and the Dirac equations obey the same Dirac equation with some built-in projection operators. In the present paper we study the Dirac equation in the interacting case. It is demonstrated that the Dirac equation in longitudinal external fields can be also splitted into two covariant subequations.

研究の動機と目的

• 自由ディラック方程式の部分解に関する先行研究を、外部場を含む相互作用系に拡張すること。
• 縦方向ポテンシャルにおけるディラック方程式が、組み込み型射影演算子を有する2つの共変な部分方程式に分解可能かどうかを調査すること。
• 部分解における変数分離を行い、外部場中での粒子の運動を記述する低次元方程式を導出すること。
• 部分解の物理的解釈を、有効質量を伴う粒子および反粒子の記述として明らかにすること。

提案手法

• 運動量演算子を4ポテンシャルへの最小結合を用いて表現するスピンル形式を用いて、ディラック方程式をスピンル記法で再定式化する。
• 元の式を2つの結合された部分解に分割するために、新たな変数 $\xi_{(1)}^{1}, \xi_{(2)}^{1}, \xi_{(1)}^{2}, \xi_{(2)}^{2}$ を導入する。
• 縦方向ポテンシャルが $(x^0, x^3)$ および $(x^1, x^2)$ のみに依存する場合に成立する条件 $[\pi^0 \pm \pi^3, \pi^1 \pm i\pi^2] = 0$ を課し、変数分離を可能にする。
• 変数を縦方向 $(x^0, x^3)$ および横方向 $(x^1, x^2)$ の成分に分離し、それぞれの部分解に対して2次元ディラック方程式およびパウリ方程式が得られる。
• 得られた方程式はスケーリング変換により、標準的な2次元ディラック方程式およびパウリ方程式の形に変換され、有効質量 $\tilde{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{1}}^2}$ および $\hat{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{2}}^2}$ を持つ。
• 部分解の構造から物理的解釈が得られ、有効質量を伴う粒子および反粒子の振る舞いと修正された運動が明らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 縦方向外部場におけるディラック方程式は、組み込み型射影演算子を有する2つの共変な部分解に分解可能か？
• RQ2 このような分解が一貫性を持ち、ローレンツ共変性を保つための4ポテンシャルに関する条件は何か？
• RQ3 1+1次元および2次元に分離された部分解は、電場および磁場中での粒子の運動をどのように記述するか？
• RQ4 導出された低次元方程式における有効質量の役割は何か？
• RQ5 外部場の存在下で、部分解は粒子および反粒子状態に対応するか？

主な発見

• 縦方向場におけるディラック方程式は、それぞれ組み込み型射影演算子を持つディラック方程式に類似した2つの共変な部分解に分解可能であり、自由状態と同様の性質を示す。
• 部分解により、$(x^0, x^3)$部分空間では有効質量 $\tilde{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{1}}^2}$ および $\hat{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{2}}^2}$ を持つ2次元ディラック方程式が得られる。
• $(x^1, x^2)$部分空間における横方向の運動は、$qH(x^1,x^2)$ を含むハミルトニアンとスピン軌道結合を有する2次元パウリ方程式で記述される。
• 変数分離により一貫した分解が得られる：$\eta_{\dot{1}} = \varphi_{\dot{1}}(x^0,x^3)\psi_{\dot{1}}(x^1,x^2)$ で、$\varphi_{\dot{1}}$ は2次元ディラック方程式、$\psi_{\dot{1}}$ は2次元パウリ方程式を満たす。
• 2番目の部分解に対しても同様の構造が得られ、$\eta_{\dot{2}} = \varphi_{\dot{2}}(x^0,x^3)\psi_{\dot{2}}(x^1,x^2)$ であり、異なる有効質量および磁場結合を持つ2番目の2次元ディラックおよびパウリ系が得られる。
• 物理的像としては、粒子および反粒子が有効質量を伴い $x^3$-軸に沿って運動し、横方向自由度は磁場を経験する。これは外部場中での相対論的運動と整合的である。