[論文レビュー] Splitting theorems for pro-$p$ groups acting on pro-$p$ trees and 2-generated subgroups of free pro-$p$ products with procyclic amalgamations

Wolfgang Herfort, Pavel Zalesskii+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限生成なプロ-$p$群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合の、古典的な Bass-Serre 理論の分裂定理のプロ-$p$版を確立する。この群は、アマルガメーションされた自由プロ-$p$群やプロ-$p$ HNN 拡張として分裂することを示している。主な貢献は、バウムラークの定理のプロ-$p$版である：プロシクル的アマルガメーションを伴う自由プロ-$p$群の直積において、各因子のすべての2生成部分群が自由または自由アーベルであれば、全体の群のすべての2生成部分群も自由プロ-$p$群である。

ABSTRACT

Let G be a finitely generated infinite pro-p group acting on a pro-p tree such that the restriction of the action to some open subgroup is free. Then we prove that G splits as a pro-p amalgamated product or as a pro-p HNN-extension over an edge stabilizer. Using this result we prove under certain conditions that free pro-p products with procyclic amalgamation inherit from its free factors the property of each 2-generated subgroup being free pro-p. This generalizes known pro-p results, as well as some pro-p analogs of classical results in abstract combinatorial group theory.

研究の動機と目的

• プロ-$p$木に作用する群の古典的 Bass-Serre 理論の結果のプロ-$p$版を確立すること。
• コンパクト性の問題により、基本プロ-$p$群が常に辺安定化子の上に分裂しないという、プロ-$p$群論における障害を解消すること。
• 有限生成なプロ-$p$群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合、それがアマルガメーションされた自由プロ-$p$群やプロ-$p$ HNN 拡張として分裂することを証明すること。
• バウムラークの古典的結果（自由群の直積における2生成部分群）をプロ-$p$設定に一般化すること。
• プロシクル的アマルガメーションを伴う自由プロ-$p$群の直積における2生成部分群が自由プロ-$p$群であるための条件を確立すること。

提案手法

• 無限の有限生成プロ-$p$群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合の分裂定理を、組合せ的プロ-$p$群論的手法を用いて証明する。
• 商 $G\backslash T$ ではなく、修正された木の構成法（補題 3.4）を用いて、有限 $p$-群の有限連結グラフを構成する。
• 逆極限技術を用いて、2生成部分群とそのプロ-$p$木への作用のペア $(L_n, T_n)$ を分解する。
• Frattini 商の議論を用いて正規化子構造を分析し、2生成部分群がアーベルである可能性を除外する。
• アマルガメーションされたプロシクル的部分群の中心化群が自由アーベルであり、$C$ をその直接因子として含むという仮定を活用する。
• 既知のプロ-$p$版の Kurosh の定理および Grushko の定理を用いて、部分群構造に関する結論を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成なプロ-$p$群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合、どのような条件下で辺安定化子の上に分裂するか？
• RQ2 有限グラフの有限 $p$-群の族の基本プロ-$p$群は、群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合、安定化子から再構成可能か？
• RQ3 プロシクル的アマルガメーションを伴う自由プロ-$p$群の直積における2生成部分群が自由プロ-$p$群のまま保たれる条件は何か？
• RQ4 アマルガメーションされたプロシクル的部分群の中心化群の構造は、2生成部分群の自由性にどのように影響するか？
• RQ5 古典的組合せ的群論の結果のプロ-$p$版は、どの程度プロ-$p$設定で成り立つか？

主な発見

• 無限の有限生成プロ-$p$群がプロ-$p$木にほぼ自由に作用する場合、辺安定化子の上に、アマルガメーションされた自由プロ-$p$群やプロ-$p$ HNN 拡張として分裂する。
• このような群は、頂点群と辺群が木における頂点・辺の安定化子に同型である、有限連結グラフの有限 $p$-群の族の基本プロ-$p$群と同型である。
• 群 $G = A \amalg_C B$ がプロシクル的アマルガメーションを伴う自由プロ-$p$群の直積であり、$C$ が $G$ における中心化群の直接因子である場合、$A$ と $B$ において2生成部分群が自由プロ-$p$群であれば、$G$ のすべての2生成部分群も自由プロ-$p$群である。
• この結果は、バウムラークの古典的定理（自由群の直積における2生成部分群）をプロ-$p$設定に一般化している。
• 従来の結果がカバーしなかった状況、例えば非可解なデムシキン群においてアマルガメーション部分群が最大のプロシクル的部分群である場合を含む。
• 証明では、ペア $(L_n, T_n)$ の逆極限と Frattini 商の分析を用いて、非自由アーベルな2生成部分群の可能性を除外し、極限において自由性が保たれることを確認している。