[論文レビュー] Splitting vector bundles outside the stable range and A^1-homotopy sheaves of punctured affine spaces

Aravind Asok, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、代数的に閉じた体の特徴が 2 でない場合、滑らかなアフィン4次元多様体上のランク3のベクトル束が、自明なランク1の直和成分をもつための必要十分条件として、その3番目のチエーン類がチャウコホモロジーにおいて消えることであることを確立する。A¹ホモトピー論を用いて、著者たちは π₃^A¹(𝔸³∖0) のA¹ホモトピー層を計算し、障害理論を適用して分割問題をコホモロジー的消失と結びつける。これにより、次元4におけるムルティの分割予想の特殊な場合が証明される。

ABSTRACT

We discuss the relationship between the ${\mathbb A}^1$-homotopy sheaves of ${\mathbb A}^n \setminus 0$ and the problem of splitting off a trivial rank $1$ summand from a rank $n$-vector bundle. We begin by computing $π_3^{{\mathbb A}^1}({\mathbb A}^3 \setminus 0)$, and providing a host of related computations of "non-stable" ${\mathbb A}^1$-homotopy sheaves. We then use our computation to deduce that a rank $3$ vector bundle on a smooth affine $4$-fold over an algebraically closed field having characteristic unequal to $2$ splits off a trivial rank $1$ summand if and only if its third Chern class (in Chow theory) is trivial. This result provides a positive answer to a case of a conjecture of M.P. Murthy.

研究の動機と目的

• 特徴が2でない代数的に閉じた体上の滑らかなアフィン4次元多様体に対して、ムルティの分割予想の特殊な場合を解決すること。
• アフィン空間を原点で除いたもののA¹ホモトピー層と、安定範囲外のベクトル束の分割問題との間の関係を確立すること。
• π₃^A¹(𝔸³∖0) を計算し、それを用いてA¹ホモトピー論における障害類を分析すること。
• 滑らかなアフィン4次元多様体上のランク3の束が自明な1次元部分束をもつための必要十分条件として、3番目のチエーン類が消えることであることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、幾何学的ボット周期性とグロテンディーク＝ウット層の構造を用いて、A¹ホモトピー層 π₃^A¹(𝔸³∖0) を計算する。
• π₃^A¹(𝔸³∖0) とランク3のベクトル束で行列式が自明なもののパラメトライズを表す層 GW₄³ を含む Gₘ-可換な完全系列を構成する。
• A¹ホモトピー論における障害理論を適用し、分割の主な障害がオイラー類であることを同定する。これは代数的に閉じた体上では最高次のチエーン類と一致する。
• k が代数的に閉じており、X が次元4であることを利用し、Nisnevich層 F₅ および GW₄³ のコホモロジーにおいて消失を確立する。
• Milnor K-理論および I-adicフィルトレーションの性質を用いて、H⁴_Nis(X, F₅) および H⁴_Nis(X, GW₄³(ℒ)) がすべての X 上のラインバンドル ℒ に対して消えることを根拠に証明に依拠する。
• CH⁴(X) が可除であることを示すことで帰着され、[AF14b] の結果により H⁴_Nis(X, GW₄³(ℒ)) の消失が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が2でない代数的に閉じた体上の滑らかなアフィン4次元多様体上のランク3のベクトル束が、チャウコホモロジーにおいて3番目のチエーン類が消える場合に限り、自明なランク1の直和成分をもつだろうか？
• RQ2 A¹ホモトピー論を用いて、アフィン空間を原点で除いたものの非安定ホモトピー層を計算し、それらをベクトル束の分割問題に関連づけることができるだろうか？
• RQ3 代数的に閉じた体上の滑らかなアフィンスキーム上のベクトル束に対して、A¹ホモトピー論におけるオイラー類は最高次のチエーン類と等価だろうか？
• RQ4 A¹ホモトピー層 π₃^A¹(𝔸³∖0) の構造は何か？ そして、それはランク3の束の分割問題をどのように制御するのか？

主な発見

• A¹ホモトピー層 π₃^A¹(𝔸³∖0) は次の Gₘ-可換完全系列に含まれる: 0 → F₅ → π₃^A¹(𝔸³∖0) → GW₄³ → 0。
• 任意の特徴が2でない代数的に閉じた体上の滑らかなアフィン4次元多様体 X に対して、H⁴_Nis(X, F₅) は消える。
• 任意のラインバンドル ℒ に対して、CH⁴(X) の可除性により、H⁴_Nis(X, GW₄³(ℒ)) は消える。
• 両方のコホモロジー群の消失は、X 上のランク3の束の分割障害が、CH³(X) 内で c₃(ℰ) = 0 であることと同値であることを意味する。
• この結果により、特徴が2でない場合の滑らかなアフィン4次元多様体におけるムルティの分割予想が確認される。
• 証明により、A¹ホモトピー論におけるオイラー類の障害が、この設定において最高次のチエーン類と一致することが示された。