[論文レビュー] Spontaneous Symmetry Breaking of Lorentz and (Galilei) Boosts in (Relativistic) Many-Body Systems

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|May 20, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相対論的および非相対論的多体系において、粒子密度またはエネルギー密度がゼロでない場合に、ローレンツおよびガリレオブーストの自発的対称性破れ（SSB）が生じ、その結果、フォノンに類似したギャップなしのゴールドストーン励起モードが生じることを示している。この現象は、熱力学的極限における再定義されたハミルトニアンを通じて発現し、エネルギー運動量スペクトルが正の半空間を完全にカバーするため、時間並進不変性がブースト生成子に対して成立しないにもかかわらず、一般化されたゴールドストーン現象が確認される。

ABSTRACT

We extend a result by Ojima on spontaneous symmetry breaking of Lorentz boosts in thermal (KMS) states and show that it is in fact a special case in a more general class of examples of spontaneous symmetry breaking of Lorentz symmetry in relativistic many-body systems. Furthermore we analyse the nature of the corresponding Goldstone phenomenon and the type of Goldstone excitations (provided they have particle character).

研究の動機と目的

• KMS状態におけるオジマのローレンツブーストのSSBに関する結果を、より広い範囲の相対論的および非相対論的多体系に一般化すること。
• ブーストのSSBに起因するゴールドストーン励起モードの性質を分析すること、特にそれらの粒子的性質とギャップなし分散関係。
• ブースト生成子と時間発展が非可換であるにもかかわらず、ゴールドストーン定理が成立する条件を明確化すること。
• 有限体積および熱力学的極限における集団励起モード（ゴールドストーンモードを含む）と準粒子・真空粒子を区別すること。

提案手法

• 翻訳されない運動量・エネルギーのスペクトル的性質を扱うために、特にローレンツおよびガリレオブーストに関連する非並進共変なカレントに対して、演算子および状態のスペクトル的サポート解析を導入する。
• 物理的励起スペクトルを分離するために、$ \rho_0 $ をエネルギー密度または粒子密度とする再規格化ハミルトニアン $ K = H - n \rho_0 $ を定義する。
• 有限体積におけるフォック空間形式を用い、$ n $ 粒子状態を用いて、ブースト関連の生成・消滅演算子 $ b^\dagger(\mathbf{k}) $, $ b(\mathbf{k}) $ の作用を研究する。
• 熱力学的極限における $ N $ 粒子励起状態のエネルギースペクトルを分析し、固定された全運動量に対して低運動量モードが任意に小さいエネルギーを持つことを示す。
• スケーリング議論を適用し、$ \varepsilon_i \sim \varepsilon/4 $, $ N \sim 2k/\varepsilon $ とすることで、$ E_N \to 0 $ が $ N \to \infty $ のとき成り立つことを示し、固定された全運動量 $ \mathbf{k} $ に対しても成立することを示す。
• 熱力学的極限においてゼロ運動量モードを c 数として取り扱い、$ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $ とすることで、凝縮効果およびゲージ対称性の破れを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多体系におけるローレンツブーストの自発的対称性破れはどのような条件下で生じるか。また、熱的KMS状態を超えてどのように一般化されるか。
• RQ2 ブースト生成子がハミルトニアンと非可換である系において、ゴールドストーン励起モードはどのように現れるか。これは標準的なゴールドストーン定理に挑戦する。
• RQ3 得られる励起モードのエネルギー運動量スペクトルの性質は何か。また、熱力学的極限において正の半空間が完全にカバーされるか。
• RQ4 相対論的力学と破れたブースト対称性の相互作用によって、集団励起モード、特にフォノンに類似したモードはどのように発現するか。
• RQ5 再定義されたハミルトニアン $ K = H - \mu \hat{N} $ は、物理的スペクトルを定義し、ゴールドストーンモード解析を可能にする上で果たす役割は何か。

主な発見

• 粒子密度またはエネルギー密度がゼロでないことで、ローレンツおよびガリレオブーストの自発的対称性破れが生じ、オジマのKMS状態に関する結果がより広い多体系に一般化される。
• ゴールドストーン励起モードはギャップなしであり、フォノンに類似した性質を示し、$ k $ が小さいときの分散関係は $ \omega_k - \omega_0 \approx \frac{1}{2m} k^2 $ と近似される。これはソフトモードスペクトルを示している。
• 熱力学的極限において、固定された全運動量 $ \mathbf{k} $ を持つ $ N $ 粒子励起状態のエネルギーは、$ N \to \infty $ のとき任意に小さくできる。$ E_N \to 0 $ が成り立つため、ギャップなしモードの存在が確認される。
• 再定義されたハミルトニアン $ K = H - \mu \hat{N} $ において $ \mu = \omega_0 $ とすると、物理的スペクトルが分離され、$ K b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle = (\omega_k - \omega_0) b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle $ を通じてギャップなしモードの同定が可能になる。
• ゼロ運動量モードは熱力学的極限において c 数として振る舞い、$ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $ と近似される。これは凝縮の形成とゲージ対称性の破れを反映している。
• 熱力学的極限において、エネルギー運動量スペクトルの正の半空間が完全にカバーされる。これは、すべての運動量に対してギャップなし励起モードが存在することを示しており、一般化されたゴールドストーン現象と整合的である。