[論文レビュー] Spreading in a shifting environment modeled by the diffusive logistic equation with a free boundary

Yihong Du, Lei Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、移動する環境における侵略的種の拡散ダイナミクスを、自由境界を伴う拡散的ロジスティック方程式を用いて研究している。ここで、好適な生息環境は速度 $ c $ で移動する。主な結果は三択の分岐である：初期集団サイズが閾値 $ \rho_0 $ より小さい場合には消滅、境界に近い拡散、または拡散の三つに分けられ、拡散は $ c < c_0 $ のときのみ発生する。ここで $ c_0 $ は静的で好適な環境における漸近的拡散速度である。

ABSTRACT

We investigate the influence of a shifting environment on the spreading of an invasive species through a model given by the diffusive logistic equation with a free boundary. When the environment is homogeneous and favourable, this model was first studied in Du and Lin \cite{DL}, where a spreading-vanishing dichotomy was established for the long-time dynamics of the species, and when spreading happens, it was shown that the species invades the new territory at some uniquely determined asymptotic speed $c_0&gt;0$. Here we consider the situation that part of such an environment becomes unfavourable, and the unfavourable range of the environment moves into the favourable part with speed $c&gt;0$. We prove that when $c\geq c_0$, the species always dies out in the long-run, but when $00$ a parameter, then there exists $σ_0&gt;0$ such that vanishing happens when $σ\in (0,σ_0)$, borderline spreading happens when $σ=σ_0$, and spreading happens when $σ&gt;σ_0$.

研究の動機と目的

• 気候変動に起因する環境の変化が、侵略的種の長期的生存および空間的拡散に与える影響を理解すること。
• 静的で好適な環境における拡散・消滅の二択から、動的で移動する環境へと拡張する自由境界モデルの適用。
• 移動する好適な生息地において、種が存続し拡散できる臨界条件を特定すること。
• 初期集団サイズが移動環境における長期的結果に与える役割を特定すること。

提案手法

• 拡散的ロジスティック方程式を用いた自由境界問題として種の拡散をモデル化：$ u_t = d u_{xx} + A(x - ct)u - b u^2 $、ここで $ A(\theta) $ は負から正へと段階的に増加する関数である。
• 境界 $ x = 0 $ に不透過境界条件を、移動境界 $ x = h(t) $ にステファン型条件 $ h'(t) = -\nu u_x(t, h(t)) $ を課し、集団駆動によるフロント拡大を表現する。
• 環境移動速度 $ c $ を変化させたときの解 $ (u, h) $ の長期的挙動を、静的環境における漸近的拡散速度 $ c_0 $ と比較して分析する。
• 比較原理、上・下解、漸近的解析を用いて、集団サイズおよび領域サイズの収束結果と境界を確立する。
• 初期集団 $ u_0(x) = \rho \theta(x) $ を用いて定義されるパラメータ $ \rho_0 $ を導入し、消滅と拡散の境界を特定する。
• 変数変換 $ v(t,x) = u(t, x + ct) $ を用いて移動座標系で問題を解析し、有界領域における定常解との比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境移動速度 $ c $ が、静的で好適な環境における種の固有拡散速度 $ c_0 $ を超えると、種はどのように変化するか？
• RQ2 環境移動速度 $ c < c_0 $ の条件下で、初期集団サイズ $ \rho $ が長期的結果（消滅、境界に近い拡散、または拡散）に与える影響は何か？
• RQ3 好適領域が十分にゆっくりと移動する場合、種は移動環境に存続し拡散できるか？また、拡散速度を決定づける要因は何か？
• RQ4 自由境界 $ h(t) $ は、環境変化下での侵入フロントダイナミクスをどのように捉えているか？
• RQ5 $ c = c_0 $ の場合と $ c < c_0 $ の場合のモデル挙動の違いは何か？また、消滅と拡散の間の分岐を決定づける要因は何か？

主な発見

• $ c \to c_0 $ のとき、初期集団サイズにかかわらず、長期的には常に種は絶滅する。
• $ 0 < c < c_0 $ のとき、長期的挙動は三択に分かれる：初期集団が小さい場合（$ \rho < \rho_0 $）は消滅、$ \rho = \rho_0 $ では境界に近い拡散、$ \rho > \rho_0 $ では拡散。
• 閾値 $ \rho_0 $ は正であり、初期集団プロファイル $ \theta(x) $ に依存する。$ \rho \to 0 $ のとき、消滅が発生する。
• $ c < c_0 $ のとき、拡散は $ (ct, c^*t) $ の移動区間内で、集団が $ a/b $ に漸近的に近づく形で発生する。ここで $ c^* = 2\tau\tau $ は静的状況における拡散速度である。
• $ c \to c_0 $ のとき、移動境界 $ h(t) $ は有界のまま保たれ、有界領域における減衰解との比較により、消滅が示される。
• $ c < c_0 $ のとき、十分大きな $ t $ に対して、領域 $ (ct, c^*t) $ において集団はゼロから一様に離れるため、移動する好適ゾーンへの成功した拡散が示される。