[論文レビュー] Square-Difference-Free Sets of Size Omega(n^{0.7334...})

Richard Beigel, William Gasarch|ArXiv.org|Apr 30, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、{1, ..., n} の平方差を含まない部分集合の最大サイズの下界を改善し、Ω(n^{0.7334...}) を示した。これは、平方自由な法 m = 205 と、サイズ12の適切に選ばれた部分集合 S を用いた整数論的構成と再帰的合成を用いて達成された。この結果は、ルツァの以前の下界を強化し、二次のヴァンダーウァーデン数に対する新たな下界を導く。

ABSTRACT

A set A is square-difference free (henceforth SDF) if there do not exist x,y\in A, x e y, such that |x-y| is a square. Let sdf(n) be the size of the largest SDF subset of {1,...,n}. Ruzsa has shown that sdf(n) = Ω(n^{0.5(1+ \log_{65} 7)}) = Ω(n^{0.733077...}) We improve on the lower bound by showing sdf(n) = Ω(n^{0.5(1+ \log_{205} 12)})= Ω(n^{.7443...}) As a corollary we obtain a new lower bound on the quadratic van der Waerden numbers.

研究の動機と目的

• {1, ..., n} の平方差を含まない部分集合の最大サイズを表す sdf(n) の既知の下界を改善すること。
• ルツァの法 m における平方差を含まない集合の構成法を、再帰的合成と整数論的演算を用いて拡張すること。
• ルツァの以前の結果 Ω(n^{0.733077...}) を上回る、sdf(n) の新たな下界を提供すること。
• 改善された sdf(n) の下界を基に、二次のヴァンダーウァーデン数に対する新たな下界を導出すること。
• 現在の下界 Ω(n^{0.7334...}) と既知の上界 O(n / log^{c_n} n) の間のギャップを埋めるという未解決問題を特定すること。

提案手法

• 平方自由な法 m と、m を法とする部分集合 S ⊆ [m] を選択し、S の任意の2要素が平方数の差を持たないようにすることで、法 m における平方差を含まない集合を構成する。
• 再帰的合成を用いる：法 m における SDF 集合と、法 m^{2k-2} における別の SDF 集合が与えられたとき、線形結合を用いて法 m^{2k} におけるより大きな SDF 集合を構成する。
• 補題 3.5 を適用して再帰的関係を導出：sdfmod(m^{2k}) ≥ m · sdfmod(m) · sdfmod(m^{2k-2}) により、集合サイズの指数的増加を可能にする。
• 補題 3.6 を用いて、sdfmod(n) の成長率を log_m |S| の対数比に関連付け、Ω(n^{0.5(1 + log_m |S|)}) の下界を導出する。
• m = 205 と、205 を法とする平方差を含まない12要素の部分集合 S を選択し、log_{205} 12 > 0.4668 を達成する。
• 整数論的構成と、平行移動を用いた被覆議論を組み合わせ、平方差を含まない彩色における関数 f(c) の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 {1, ..., n} の平方差を含まない部分集合の最大サイズの下界を、ルツァの Ω(n^{0.733077...}) を超えて改善できるか？
• RQ2 平方自由な法 m と、m を法とする2要素が平方数の差を持たない部分集合 S ⊆ [m] に対して、log_m |S| の最大値は何か？
• RQ3 改善された sdf(n) の下界は、二次のヴァンダーウァーデン数の既知の境界にどのように影響を与えるか？
• RQ4 現在の下界 Ω(n^{0.7334...}) と上界 O(n / log^{c_n} n) のギャップを埋めることは可能か？
• RQ5 どのような整数論的構成が、再帰的合成を用いて平方差を含まない集合の成長率を最大にするか？

主な発見

• 論文は、新たな下界 sdf(n) = Ω(n^{0.7334...}) を確立し、ルツァの以前の結果 Ω(n^{0.733077...}) を改善した。
• この改善は、平方自由な法 m = 205 と、205 を法とする平方差を含まない12要素の部分集合 S ⊆ {0, 2, 8, 14, 77, 79, 85, 96, 103, 109, 111, 181} を用いた SDF 集合の構成によって達成された。
• 成長率は補題 3.6 を用いて導出され、sdf(n) ≥ Ω(n^{0.5(1 + log_{205} 12)}) が示され、log_{205} 12 ≈ 0.4668 により指数部は 0.7334 となる。
• この方法は、より大きな法とより大きな部分集合 S を用いることで、ルツァのアプローチを一般化し、より高い指数を得た。
• 系として、平方差を含まない彩色における関数 f(c) に対して、f(c) ≥ Ω(c^{3.75}) の新たな下界が導出された。ここで f(c) は、[N] の任意の c 色分けが、平方数の差を持つ単色ペアを含む最小の N を表す。
• 論文は、現在の下界 Ω(n^{0.7334...}) と上界 O(n / log^{c_n} n) のギャップを埋める問題を未解決のまま残している。