[論文レビュー] Square function/non-tangential maximal function estimates and the dirichlet problem for non-symmetric elliptic operators

Steve Hofmann, Carlos E. Kenig+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、上半空間における非対称で非発散型の楕円型方程式の解について、$\epsilon$-近似可能性および平方関数／非接線的最大関数の技法を用いて、$S<N$ および $N<S$ の推定を確立する。主な結果は、$L$-調和測度が表面測度に関して $A_\infty$ 種に属することであり、これは次元 $n \geq 2$ においてある $p<\infty$ に対して $L^p$ ディリクレ問題が可解であることを示唆する。この結果は、以前は $n=1$ の場合に限られていたものを拡張する。証明は、停止時刻の議論、Carleson 測度の推定、および調和測度の Radon-Nikodym 微分に関する逆 Hölder 不等式に依拠している。

ABSTRACT

We consider divergence form elliptic operators L = - div A(x) abla, defined in the half space R^{n+1}_+, n \geq 2, where the coefficient matrix A(x) is bounded, measurable, uniformly elliptic, t-independent, and not necessarily symmetric. We establish square function/non-tangential maximal function estimates for solutions of the homogeneous equation Lu = 0, and we then combine these estimates with the method of "ε-approximability" to show that L-harmonic measure is absolutely continuous with respect to surface measure (i.e., n-dimensional Lebesgue measure) on the boundary, in a scale-invariant sense: more precisely, that it belongs to the class A_\infty with respect to surface measure (equivalently, that the Dirichlet problem is solvable with data in L^p, for some p &lt; \infty). Previously, these results had been known only in the case n = 1.

研究の動機と目的

• 非対称楕円型作用素に対する $L^p$ ディリクレ問題の可解性理論を、$n \geq 2$ の次元に拡張すること。これは、以前は $n=1$ の場合にのみ知られていた。
• 非対称楕円型作用素 $Lu=0$ の解について、平方関数 $S(u)$ と非接線的最大関数 $N_*(u)$ 間の局所的および大域的 $L^p$ 界を確立すること。
• $L$-調和測度が表面測度に関して $A_\infty$ 種に属することを証明し、スケール不変な絶対連続性を保証すること。
• $\epsilon$-近似可能性の手法を発展・適用し、平方関数の推定と調和測度の $A_\infty$ 性質を結びつけること。

提案手法

• 勾配 $\nabla u$ の縦方向の平方関数分解を用いて $S<N$ 推定を確立し、問題をテント領域における勾配の制御に還元する。
• $\nabla u$ の平方関数と非接線的最大関数 $N_*$ 間の関係を示すための「良い-$\lambda$」不等式を用い、大規模な $p$ に対する $L^p$ 界を得る。
• 停止時刻構成を用いて領域を dyadic 立方体に分解し、『青』の長方形（小さな振動）と『赤』の長方形（大きな振動）を区別して近似を行う。
• 有界性と Carleson 測度の推定を用いて、青の長方形上で $u$ を誤差 $\leq \epsilon/5$ で近似する関数 $\varphi_1$ を構成する。
• 赤の長方形上で $\varphi_2 = u$ と定義し、太ったテント領域における $L^2$ および $L^1$ 推定を用いて、$\varphi_2$ の勾配が Carleson 測度によって制御されることを示す。
• $\nabla u \cdot \chi_{\mathcal{R}}$ が Carleson 測度であること、および $\varphi_2$ のジャンプが表面測度によって制御されることを用いて、$u$ が滑らかな関数によって $\epsilon$-近似可能であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称で $t$-独立な楕円型作用素に対して、次元 $n \geq 2$ において $S<N$ および $N<S$ の推定を確立できるか？
• RQ2 $\epsilon$-近似可能性の手法は、非対称作用素に拡張可能であり、調和測度の $A_\infty$ 性質の証明に用いられるか？
• RQ3 係数行列 $A(x)$ が非対称で $t$-独立な場合に、ある $p<\infty$ に対して $L^p$ ディリクレ問題が可解であるか？
• RQ4 このような作用素に対して、調和測度の $A_\infty$ 性質をスケール不変な方法で確立できるか？
• RQ5 平方関数と非接線的最大関数は、非対称作用素に対するディリクレ問題の可解性を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、$n \geq 2$ において、上半空間 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ における非対称作用素 $Lu=0$ の解について、$S<N$ 推定を確立した。これは、非対称作用素に対して以前は未知であった結果である。
• 局所的な $N<S$ 界が証明され、大域的結果の拡張がなされ、スケール不変な解析が可能になった。
• $\epsilon$-近似可能性の手法が非対称作用素に成功裏に適用され、平方関数の推定と調和測度の $A_\infty$ 性質を結びつけることができた。
• 調和測度が表面測度に関して $A_\infty$ 種に属することを示し、これは $L^p$ ディリクレ問題がいくつかの $p<\infty$ に対して可解であることを示唆する。
• Radon-Nikodym 微分 $k = d\omega/dx$ に対する逆 Hölder 不等式が、立方体全体に一様に成り立ち、指数 $q>1$ は $A_\infty$ 定数に依存する。
• 勾配 $\nabla u \cdot \chi_{\mathcal{R}}$ に対する Carleson 測度条件が検証され、定数は $\lambda$, $n$, および $A$ の $L^\infty$ ノルムに依存する。これにより、$u$ の $\epsilon$-近似可能性が保証された。