[論文レビュー] Square functions in the Hermite setting for functions with values in UMD spaces

Jorge J. Betancor, Alejandro J. Castro+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$1 < p < \infty$ に対して、Lebesgue-Bochner 空間 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ が、$H = L^2((0,\infty), dt/t)$ から $\gamma$-radonifying 演算子 $\gamma(H, B)$ に値をとる Hermite Littlewood-Paley $g$-関数の有界性によって特徴づけられることを確立し、Banach 空間 $B$ が UMD であることと、これらの $g$-関数が $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性が同値であることを証明している。この結果は、UMD 空間値関数に対する古典的な平方関数理論を Hermite の設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we characterize the Lebesgue Bochner spaces $L^p(\mathbb{R}^n,B)$, $1

研究の動機と目的

• Bochner-Lebesgue 空間 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ ($1 < p < \infty$) を、$\gamma$-radonifying 演算子に値をとる Hermite Littlewood-Paley $g$-関数を用いて特徴づけること。
• Hermite $g$-関数が $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性を通じて、UMD Banach 空間の新しい特徴づけを確立すること。
• UMD Banach 空間値関数に対する、ユークリッド設定から Hermite の設定への平方関数理論の拡張。
• スペクトル乗数作用素および特異積分作用素の文脈において、$\gamma$-radonifying 演算子が果たす役割を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、Hermite 演算子 $\mathscr{L} = -\Delta + |x|^2$ が生成するポisson 半群 $\{P_t^\mathscr{L}\}_{t>0}$ を用いて、Hermite Littlewood-Paley $g$-関数 $g_\mathscr{L}(f)(x) = \left(\int_0^\infty \left|t \frac{\partial}{\partial t} P_t^\mathscr{L}(f)(x)\right|^2 \frac{dt}{t}\right)^{1/2}$ を定義する。
• Banach 空間 $B$ から $H = L^2((0,\infty), dt/t)$ への $\gamma$-radonifying 演算子の空間 $\gamma(H, B)$ を導入し、ベクトル値設定における $g$-関数の出力先としての役割を果たす。
• 主な技術的道具は、Hermite 熱核 $W_t^\mathscr{L}(x,y)$ のためのメーラーの公式、ポアソン核の従属公式、および微分 $\left|\left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right)W_u^\mathscr{L}(x,y)\right|$ の点ごとの推定である。
• 演算子 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}$ を $T_{j,\pm}^\mathscr{L}(f)(x,t) = t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)(x)$ で定義し、$B$ が UMD 空間であるとき、$L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性を示す。
• 著者たちは、$\mathscr{G}_{\mathscr{L}\pm 2,B}(R_j^\pm(f)) = \mp t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)$ という恒等式を通じて、$g$-関数とリーマン変換 $R_j^\pm$ を関連させ、UMD 空間上での $R_j^\pm$ の既知の $L^p$ 有界性を応用可能にする。
• 著者たちは、$B$ が UMD 空間であることと、$g$-関数 $g_\mathscr{L}$ が $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性であることが同値であることを証明し、UMD 空間の新たな特徴づけを確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bochner-Lebesgue 空間 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ は、$1 < p < \infty$ に対して、$\gamma(H, B)$ 値をとる Hermite Littlewood-Paley $g$-関数を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 $\gamma$-radonifying 演算子は、Banach 空間値関数に対する平方関数理論を Hermite の設定へと拡張する際に果たす役割は何か？
• RQ3 Hermite $g$-関数が $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性は、Banach 空間 $B$ の UMD 性質と同値であるか？
• RQ4 Hermite の設定におけるリーマン変換 $R_j^\pm$ は、$g$-関数および $\gamma$-radonifying 演算子とどのように関係しているか？
• RQ5 $n$ および $B$ にどのような条件下で、演算子 $T_{j,-}^\mathscr{L}$ は $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性をもつのか？

主な発見

• Hermite Littlewood-Paley $g$-関数 $g_\mathscr{L}(f)$ は、$f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ および $1 < p < \infty$ に対して、$\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \asymp \|g_\mathscr{L}(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ の同値性を満たし、古典的結果を Hermite の設定へと拡張する。
• Banach 空間 $B$ に対して、空間 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ は、$\gamma(H, B)$ 値をとる $g$-関数の有界性によって特徴づけられ、すなわち $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n, B)} \asymp \|g_\mathscr{L}(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))}$ が成り立つ。
• 演算子 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}$ を $T_{j,\pm}^\mathscr{L}(f)(x,t) = t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)(x)$ で定義すると、$B$ が UMD 空間であるとき、$1 < p < \infty$ に対して $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性が成り立つ。
• $T_{j,+}^\mathscr{L}$ の有界性はすべての $n \geq 1$ に対して成り立つが、$T_{j,-}^\mathscr{L}$ は核の微分の成長推定により $n \geq 3$ を必要とする。
• Banach 空間 $B$ が UMD であることと、Hermite $g$-関数が $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ から $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ への有界性であることは同値であり、$1 < p < \infty$ のある値（したがってすべての値）に対して成り立つ。これは UMD 空間の新たな特徴づけを提供する。
• Hermite の設定におけるリーマン変換 $R_j^\pm$ は、$1 < p < \infty$ に対して $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 上で有界であるための必要十分条件が $B$ が UMD 空間であることであり、この性質は $\gamma$-radonifying 演算子の枠組みを通じて、関連する $g$-関数の有界性と結びついている。