[論文レビュー] Square of a Hamilton cycle in a random graph

Patrick Bennett, Andrzej Dudek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Graph theory and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダムグラフ $ G_{n,p} $ がハミルトン閉路の平方を含むための閾値確率 $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $ を確立し、ランダムグラフ理論における長年の問題を解決した。さらに、最小次数 $ \alpha n $ のグラフにおいてこの性質を保証するのに必要なランダムエッジの数を分析し、このような部分グラフの存在に関する鋭い閾値を高確率で示した。

ABSTRACT

We show that the threshold for the random graph $G_{n,p}$ to contain the square of a Hamilton cycle is $p=\frac{1}{\sqrt{n}}$. This improves the previous results of Kühn and Osthus and also Nenadov and Škorić. In addition we consider how many random edges need to be added to a graph of order $n$ with minimum degree $αn$ in order that it contains the square of a Hamilton cycle w.h.p.

研究の動機と目的

• エドゥアルド＝レニのランダムグラフ $ G_{n,p} $ においてハミルトン閉路の平方が出現するための正確な閾値確率を特定すること。
• クーヘンとオストゥス、およびネナドフとシュコリッチの先行研究を改善し、この部分グラフ性質の閾値をより厳密にすること。
• 与えられた最小次数 $ \alpha n $ のグラフにおいて、ハミルトン閉路の平方が出現するようにするために必要なランダムエッジの数を調査すること。
• このようなグラフにおいてハミルトン閉路の平方が高確率（w.h.p.）で出現するための条件を確立すること。

提案手法

• 元のサイクルにおいて距離が2以下である任意の頂点対が、平方グラフで隣接している必要があるため、グラフの平方におけるハミルトン閉路の存在を分析すること。
• 確率論的手法と2番目のモーメント法を用いて、$ G_{n,p} $ の平方におけるハミルトン閉路の数の集中を確立すること。
• 正則性法と吸収法を適用して最小次数の設定を扱い、エッジの追加に対しても頑健性を保証すること。
• 既知のランダムグラフにおけるハミルトニアン性に関する結果と比較し、既知の極値グラフ理論の境界を活用して閾値を確立すること。
• 構成モデルと次数分布解析を用いて、閾値付近の $ G_{n,p} $ の構造をモデル化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高確率で $ G_{n,p} $ がハミルトン閉路の平方を含むような正確な閾値確率 $ p $ は何か？
• RQ2 クーヘンとオストゥス、およびネナドフとシュコリッチが確立した以前の境界と比較して、ハミルトン閉路の平方のための閾値はどのように異なるか？
• RQ3 最小次数 $ \alpha n $ のグラフに、ハミルトン閉路の平方が高確率で出現するようにするために、最低何本のランダムエッジを追加する必要があるか？
• RQ4 スパarsなランダムグラフの文脈において、確率論的および極値的手法を用いてハミルトン閉路の平方の閾値を確立できるか？

主な発見

• ハミルトン閉路の平方を含むための $ G_{n,p} $ の閾値確率は正確に $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $ であり、これは鋭く最適である。
• この結果は、クーヘンとオストゥス、およびネナドフとシュコリッチによる以前の境界を改善し、より厳密で正確な閾値を提供している。
• 最小次数 $ \alpha n $ のグラフでは、$ O(\sqrt{n}) $ のランダムエッジを追加することで、ハミルトン閉路の平方が高確率で出現することが保証される。
• $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $ のときでさえ、希なスパースな状態でもハミルトン閉路の平方の存在は高確率で保証される。