[論文レビュー] Square Partitions and Catalan Numbers

Matthew Bennett, Vyjayanthi Chari+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大部が $k$ で最小部が 1 である正方形分割に対して反復的に適用することで、その基数が Catalan 数 $c_{\ell-k+1}$ またはその2倍に等しくなる分割集合を生成する、新しいアルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは非同型な根付き木構造を定義し、2パラメータ族を用いて ballot 数へ一般化可能であり、$\mathfrak{sl}_2$ やアフィンリー代数の表現論における対称関数モジュールへの応用を示唆する。

ABSTRACT

For each integer $k\ge 1$, we define an algorithm which associates to a partition whose maximal value is at most $k$ a certain subset of all partitions. In the case when we begin with a partition $λ$ which is square, i.e $λ=λ_1\ge...\geλ_k>0$, and $λ_1=k,λ_k=1$, then applying the algorithm $\ell$ times gives rise to a set whose cardinality is either the Catalan number $c_{\ell-k+1}$ (the self dual case) or twice the Catalan number. The algorithm defines a tree and we study the propagation of the tree, which is not in the isomorphism class of the usual Catalan tree. The algorithm can also be modified to produce a two--parameter family of sets and the resulting cardinalities of the sets are the ballot numbers. Finally, we give a conjecture on the rank of a particular module for the ring of symmetric functions in $2\ell+m$ variables.

研究の動機と目的

• 正方形分割を、Catalan 数に関連する基数を持つ分割集合に変換するアルゴリズムを定義すること。
• 写像 $\tau_k$ を用いて、標準的な Catalan 木とは異なる非同型な木構造を分割集合上に確立すること。
• Catalan の場合を拡張して、サイズが ballot 数 $b_{\ell,m}$ に等しくなるようにアルゴリズムを一般化すること。
• 変数 $2\ell + m$ 個の対称関数のモジュールのうち、ある特定のものについて、そのランクが $b_{\ell,m-1}$ である自由モジュールであると予想すること。

提案手法

• 部分がすべて $k$ 以下である分割に対して写像 $\tau_k$ を定義し、$n \times k$ 矩形内における分割の補集合を180度回転させる。
• 部分が $\lambda_1 = k$ かつ $\lambda_k = 1$ を満たす正方形分割 $\lambda$ に対して、このアルゴリズムを反復的に適用し、分割の木構造を生成する。
• 組合せ的双対写像ではなく代数的技法を用いて、$\ell$ 回の反復後に得られる集合のサイズが $c_{\ell-k+1}$ または $2c_{\ell-k+1}$ に等しいことを証明する。
• 初期条件を変更し、ballot 数を含む再帰関係を用いることで、2パラメータ族への一般化を実行する。
• ballot 数に関する交代的恒等式を証明する：$\sum_{j \geq 0} (-1)^j \binom{\ell - j}{j} b_{\ell - j, m} = \binom{m + \ell}{\ell}$。
• $\mathbf{p}(\mu)$ で生成される、対称関数環 $\Lambda_r$ 上のモジュール $\mathbf{M}(\ell,m)$ を構成し、その基底が $\cal P^\ell(\Omega_m)$ によってインデックス付けられる自由性を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方形分割にこのアルゴリズムを反復的に適用したときに得られる分割集合の構造は何か？
• RQ2 写像 $\tau_k$ は分割木における双対性をどのように定義し、なぜその木構造が標準的な Catalan 木とは同型でないのか？
• RQ3 このアルゴリズムを ballot 数 $b_{\ell,m}$ のサイズを持つ集合を生成するように一般化できるか？
• RQ4 これらの分割集合の組合せ論的構造と $\mathfrak{sl}_2$ やアフィンリー代数の表現論との関係は何か？
• RQ5 予想されているように、$\Lambda_r$-モジュール $\mathbf{M}(\ell,m)$ はランク $b_{\ell,m-1}$ の自由モジュールであるか？

主な発見

• 部分が $\lambda_1 = k$ かつ $\lambda_k = 1$ を満たす正方形分割 $\lambda$ に $\ell$ 回アルゴリズムを適用すると、自己双対な場合は基数 $c_{\ell-k+1}$、それ以外は $2c_{\ell-k+1}$ の分割集合が得られる。
• このアルゴリズムは、古典的な Catalan 木とは同型でない根付きで順序付きの木構造を分割集合上に定義する。
• 一般化されたアルゴリズムにより $m$ 個の根付き順序付き木が得られ、生成される分割の総数は ballot 数 $b_{\ell,m}$ に等しい。
• ballot 数に関する交代的恒等式が証明された：$\sum_{j \geq 0} (-1)^j \binom{\ell - j}{j} b_{\ell - j, m} = \binom{m + \ell}{\ell}$。
• $\ell = 1,2$ および $\ell = 3,4$ の $m = 0,1,2$ の場合に予想が検証され、モジュール $\mathbf{M}(\ell,m)$ の自由性を支持する証拠が得られた。
• モジュール $\mathbf{M}(\ell,m)$ は、$2\ell + m$ 変数の対称関数環上においてランク $b_{\ell,m-1}$ の自由モジュールであると予想されている。