[論文レビュー] Square-Root Finding Problem In Graphs, A Complete Dichotomy Theorem

Babak Farzad, Majid Karimi|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、5の周長をもつグラフの平方根であるかどうかを判定する問題がNP完全であることを示すことによって、グラフの平方根問題に対する完全な二分法定理を確立している。著者らは、1-in-3 SATの変種から多項式時間還元を構築し、NP完全性を証明することで、周長パrameter化された平方根問題の複雑さ分類における最後の未解決事例を解消した。

ABSTRACT

Graph G is the square of graph H if two vertices x,y have an edge in G if and only if x,y are of distance at most two in H. Given H it is easy to compute its square H^2. Determining if a given graph G is the square of some graph is not easy in general. Motwani and Sudan proved that it is NP-complete to determine if a given graph G is the square of some graph. The graph introduced in their reduction is a graph that contains many triangles and is relatively dense. Farzad et al. proved the NP-completeness for finding a square root for girth 4 while they gave a polynomial time algorithm for computing a square root of girth at least six. Adamaszek and Adamaszek proved that if a graph has a square root of girth six then this square root is unique up to isomorphism. In this paper we consider the characterization and recognition problem of graphs that are square of graphs of girth at least five. We introduce a family of graphs with exponentially many non-isomorphic square roots, and as the main result of this paper we prove that the square root finding problem is NP-complete for square roots of girth five. This proof is providing the complete dichotomy theorem for square root problem in terms of the girth of the square roots.

研究の動機と目的

• 周長が5のグラフにおけるグラフの平方根問題の複雑さの未解決状態を解消すること。
• 平方根グラフの周長に基づいた平方根問題の二分法定理を完成させること。
• 平方根の探索問題が、根の周長が5以下である場合にのみNP完全であることを示すこと。
• 指数的多数の非同型な平方根をもつグラフの族を構築し、一意性を越えた構造的複雑さを示すこと。

提案手法

• 強力にNP完全な変種であるPOSITIVE AND MINIMUM INTERSECTING 1-in-3 SATに還元した。
• 3-CNF論理式 $ \phi $ からグラフ $ G(\phi) $ を構築し、変数と節の構造を特別な部分グラフによって符号化した。
• 変数の真理値割り当てを表すために、2つの基本的グラフ構成要素 $ \mathcal{G}_1 $ と $ \mathcal{G}_2 $ を定義した。
• 節の制約を符号化するためにペテルセングラフ構造を用い、満たされる割り当てにおいて各節でちょうど1つのリテラルが真になるように保証した。
• 満たされる割り当てが存在するための必要十分条件が、$ G(\phi) $ が周長5の平方根をもつことであることを確立した。
• このような平方根が存在する場合、その周長は正確に5でなければならないことを証明し、頂点および辺の定義を通じて周長が保存されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周長が5のグラフの平方根であるかどうかを判定する問題は、NP完全か？
• RQ2 周長が5のグラフの平方根が存在する場合、その同型を除いて一意的か？
• RQ3 周長が5で、指数的多数の非同型な平方根をもつグラフの族を構築できるか？
• RQ4 根グラフの周長をパrameterとする平方根問題の完全な複雑さ分類は何か？

主な発見

• 周長が5のグラフの平方根であるかどうかを判定する問題は、長年の未解決問題を閉じる形でNP完全である。
• 著者らは、指数的多数の非同型な平方根をもつグラフの族を構築し、周長5では一意性が成り立たないことを示した。
• 証明により完全な二分法が確立された：平方根問題は、根の周長が5以下である場合にかつその場合にのみNP完全である。
• 1-in-3 SATから平方根問題への還元は周長を保存し、根として可能なのは周長が5のグラフに限ることを保証した。
• 構成により、周長が5のグラフの平方根は一意的ではないことが確認され、周長≥6のときの同型一意性とは対照的である。
• 本結果により、根グラフの周長をパrameterとする平方根問題の複雑さ分類が完全に完成し、Farzadら（2012）の予想が解決された。