[論文レビュー] Square root of a multivector of Clifford algebras in 3D: A game with signs

A. Acus, A. Dargys|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2020

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元実クリフォード代数 $\ mathrm{Cl}_{p,q}$ に対して、Mathematica を用いたグレブナー基底技法を用いて任意のマルチベクトルの平方根を計算する記号的アルゴリズムを提示する。$\ mathrm{Cl}_{2,1}$ では最大16個の孤立した根が存在しうることを示し、他の代数的構造、例えば $\ mathrm{Cl}_{3,0}$、$\ mathmathrm{Cl}_{1,2}$、$\ mathrm{Cl}_{0,3}$ では最大4個の孤立した根が存在する。$n=1$ を除き、すべてのケースで連続的根が存在する可能性がある。この手法は、幾何代数に直接作用することで、行列表現に起因する落とし穴を回避する。

ABSTRACT

An algorithm to extract the square root in radicals from a multivector (MV) in real Clifford algebras Cl(p,q) for n=p+q <=3 is presented. We show that in the algebras Cl(3,0), Cl(1,2) and Cl(0,3) there are up to four isolated roots in a case of the most general (generic) MV. The algebra Cl(2,1) makes up an exception and the MV here can have up to 16 isolated roots. In addition to isolated roots, a continuum of roots can appear in all algebras except p+q=1. A number of examples are provided to illustrate properties of various roots that may appear in n=3 Clifford algebras.

研究の動機と目的

• 3次元実クリフォード代数における一般のマルチベクトルの平方根を計算する体系的な手法を開発すること。
• すべての $\mathrm{Cl}_{p,q}$ 代数（$p+q=3$）において、孤立根と連続根の数と性質を特定すること。
• 特に非クaternion的ケースにおいて、先行研究におけるマルチベクトルの平方根に関する矛盾を解消すること。
• 実クリフォード代数における平方根の計算において、行列ベースのアプローチの限界を示すこと。
• Mathematica などの記号的計算ツールを用いて、平方根の明示的根号表現を提供すること。

提案手法

• 著者は、$\mathsf{A}^2 = \mathsf{B}$ から導かれる非線形多項式方程式系を解くためにグレブナー基底アルゴリズムを用いる。ここで $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ はマルチベクトルである。
• 標準的な8要素基底（スカラー、ベクトル、二階ベクトル、擬スカラーを含む）を用いて、$\mathrm{Cl}_{p,q}$（$n=3$）におけるマルチベクトル $\mathsf{B}$ を展開する。
• 符号性依存の代数的性質の違いのため、$\mathrm{Cl}_{3,0}$、$\mathrm{Cl}_{1,2}$、$\mathrm{Cl}_{0,3}$、$\mathrm{Cl}_{2,1}$ それぞれについて別々にアルゴリズムを適用する。
• Mathematica を用いた記号的計算により、根の閉形式の根号表現を導出し、広範な数値的検証によって検証する。
• 実クリフォード代数において虚数成分が不必要に生じるのを防ぐために、行列表現を避ける。
• 著者らは結果を行列ベースの手法と比較し、それらのアプローチが幾何代数に戻した際に物理的に意味のない虚数スカラーおよび擬スカラー成分を導入することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のマルチベクトルが $\mathrm{Cl}_{3,0}$、$\mathrm{Cl}_{1,2}$、$\mathrm{Cl}_{0,3}$、$\mathrm{Cl}_{2,1}$ において最大何個の孤立根を持つことができるか？
• RQ2 3次元クリフォード代数において、マルチベクトルが平方根を持つために満たすべき条件は何か？
• RQ3 なぜ行列ベースの平方根手法は、$\mathrm{Cl}_{3,0}$ において有効な実マルチベクトル解を再現できないのか？
• RQ4 $\mathrm{Cl}_{2,1}$ におけるマルチベクトルが4個を超える孤立根を持つことができるか？もし可能なら、その理由は何か？
• RQ5 連続的根はマルチベクトル平方根方程式の解空間において果たす役割は何か？

主な発見

• 一般のマルチベクトルは、$\mathrm{Cl}_{3,0}$、$\mathrm{Cl}_{1,2}$、$\mathrm{Cl}_{0,3}$ において最大4個の孤立根を持つことができる。
• $\mathrm{Cl}_{2,1}$ においては、一般のマルチベクトルが最大16個の孤立根を持つことができ、3次元クリフォード代数の中で特異である。
• $p+q=1$ の場合を除き、すべての3次元クリフォード代数において連続的根が現れる可能性があり、より高次元のケースに比べて解構造が洗練されている。
• $\mathrm{Cl}_{3,0}$ における行列ベースの平方根の計算では、スカラー部および擬スカラー部に不適切な虚数成分が生じ、幾何代数の解釈を無効にする。
• Mathematica におけるグレブナー基底を用いた記号的アプローチにより、すべての根の正確な根号表現が得られ、行列表現に起因する落とし穴を回避できた。
• 本稿では、$\mathrm{Cl}_{1,1}$、$\mathrm{Cl}_{0,2}$、$\mathrm{Cl}_{1,2}$ における平方根の明示的例を提示しており、$\mathrm{Cl}_{1,1}$ では4つの異なる根が、$\mathrm{Cl}_{0,2}$ では1つの根が存在することが示されている。