[論文レビュー] Square-roots and Lax-pairs for supersymmetrizable systems

Jens Hoppe|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ボソン的ハミルトニアンが超対称化可能である——特に膜の行列モデルおよび還元されたヤン・ミルズ理論——場合に、自然にラクス対とハミルトニアンの平方根が存在することを示している。主な結果は、ラクス演算子 $ L_\beta $ が $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + \text{追加項}$ を満たし、ラクス方程式 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ に従って時間発展することであり、これは超対称化可能な系における可積分性とスペクトル保存を示唆する。

ABSTRACT

Several examples are given illustrating the (presumably rather general) fact that bosonic Hamiltonians that are supersymmetrizable automatically possess Lax-pairs, and square-roots.

研究の動機と目的

• 超対称化可能な系とラクス対およびハミルトニアンの平方根の存在との間の一般的関係を確立すること。
• D=4,5,7,11次元におけるDブレーン膜の行列モデル——スーパーヤン・ミルズ理論から還元されたもの——が自然にラクス構造を備えていることを示すこと。
• クリフォード代数的構造および定数のグラスマン行列がラクス演算子と保存量の構成に果たす役割を調査すること。
• 演算子関係 $ P^\beta_{\alpha a} = A_{\alpha a,\alpha' a'} Q^\beta_{\alpha' a'} $ を用いて自己双対解を調べ、ユークリッド空間における標準的な自己双対方程式と関連付けること。

提案手法

• 運動量 $ p_{ta} $、位置 $ x_{ta} $、および定数のグラスマン行列 $ \theta_{\alpha a} $ を用いて、ラクス演算子 $ L_\beta = V^\beta_{\alpha a} \theta_{\alpha a} = (P^\beta_{\alpha a} + Q^\beta_{\alpha a}) \theta_{\alpha a} $ を構築する。
• ラクス行列 $ L_\beta $ を、$ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + 2\gamma^t_{\beta\beta'} x_{ta} J_a $ を満たすように定義する。ここで $ J_a $ は SU(N) カレントである。
• 時間発展 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ を導出し、ここで $ M = \frac{1}{2} x_{tc} f_{abc} \gamma^t_{\alpha\beta} \theta_{\alpha a} \theta_{\beta b} $ である。
• 古典的運動方程式 $ \dot{x}_{sb} = p_{sb} $、$ \dot{p}_{sb} = -\partial H / \partial x_{sb} $ の下でラクス方程式が成立することを検証する。
• ポテンシャル $ W(x_1,\dots,x_n) $ を用いた第二のクラスのモデルを導入し、ラクス演算子 $ L_1 = \sum_k (f_k p_k - g_k \partial_k W) $、$ L_2 = \sum_k (g_k p_k + f_k \partial_k W) $ を定義する。これらは $ \{L\_\beta, L_{\beta'}\} = 2(\vec{p}^2 + (\vec{\nabla}W)^2) \mathbf{1} $ を満たす。
• 古典的力学の下で成立するラクス方程式 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ を確認し、ここで $ M = -f_k g_l \partial^2_{kl} W $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての超対称化可能なボソン的ハミルトニアンは、ラクス対と平方根を有するか？
• RQ2 行列モデルの超対称化手続きから直接的にラクス構造を導出できるか？
• RQ3 クリフォード代数的構造および定数のグラスマン行列がラクス演算子の構成に果たす役割は何か？
• RQ4 自己双対解はラクス演算子代数から自然に出現するか？ また、それらは標準的な自己双対方程式を回復するか？
• RQ5 $ \text{Tr}(L(\vec{\lambda}))^k $ から得られる保存量は関数的に独立か？ それともラクス代数によって制約を受けるか？

主な発見

• ラクス演算子 $ L_\beta $ は $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + 2\gamma^t_{\beta\beta'} x_{ta} J_a $ を満たし、$ J_a = 0 $ である SU(N) 不変領域では $ L_\beta^2 = H \cdot \mathbf{1} $ となる。
• 時間発展 $ \dot{L}_\beta $ はラクス方程式 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ に従い、ここで $ M = \frac{1}{2} x_{tc} f_{abc} \gamma^t_{\alpha\beta} \theta_{\alpha a} \theta_{\beta b} $ である。これは可積分性を確認する。
• ポテンシャルモデルでは、ラクス演算子 $ L_1 $ と $ L_2 $ が $ \{L_\beta, L_{\beta'}\} = 2(\vec{p}^2 + (\vec{\nabla}W)^2) \mathbf{1} $ を満たし、$ M = -f_k g_l \partial^2_{kl} W $ を用いたラクス方程式が成立する。
• 古典的運動方程式により $ \dot{V}^\beta_{\alpha a} = \Omega_{\alpha a,\alpha' a'} V^\beta_{\alpha' a'} $ が成り立ち、ここで $ \Omega_{\alpha a,\alpha' a'} = -f_{aba'} \gamma^s_{\alpha\alpha'} x_{sb} $ である。これは力学とラクス発展を結びつける。
• 演算子関係 $ P^\beta_{\alpha a} = A_{\alpha a,\alpha' a'} Q^\beta_{\alpha' a'} $ で、$ A $ が $ A\Omega A = \Omega $ を満たすと仮定すると、自己双対解の自然なアンザッツが得られ、$ \gamma = -\mathbf{1} \times \epsilon $ のとき $ \mathbb{R}^4 $ で標準的な自己双対方程式が回復される。
• 保存量 $ \text{Tr}(L(\vec{\lambda}))^k $ は、代数的恒等式 $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + \cdots $ のため、関数的に依存しており、保存量のスペクトルに退化が生じることを示唆する。